Linjär algebra: är skalärprodukten den enda funktionen som kan vara en inre produkt i Rn?

Skalärprodukten*k borde vara en inre produkt med väl?

Om k inte är negativ och reell?

Men det är inte så intressamt svar

Edit: men vänta v***n är normen i Rn en inre produkt???

Ja.

Nej. Normen är inte linjär.

Jaha vad tråkigt men måste funktionen ha nåt att göra med multiplikation ens?

Och vid närmare eftertanke tar normen bara ett argument och inte två, som en inre produkt.

Jag menar allmänt mellan två punkter, men det är ju mellan origo ocv punkten om man vill se det så

En linjär funktion måste nog innehålla multiplikation känns det som? Normen hade ju inte varit en inre produkt även om den tog två vektorer som argument eftersom den inte varit linjär. Och man kan inte riktigt se den som att den skulle kunna ta två vektorer som argument heller, eftersom det vore lite svårt att se vad det skulle betyda.

Jag hänger inte riktigt med i er diskussion. Om vi redan har en inre produkt, då är ju normen definierad som roten av inre produkten av vektorn med sig själv (). Det blir väl lite konstigt att tala om normen som en inre produkt, eftersom om vi inte har en inre produkt så kan vi fortfarande ha en norm, men om vi har en inre produkt så får vi automatiskt en norm med hjälp av inre produkten.

Det kanske bara är jag som inte riktigt hänger med.

Men för att återkoppla till själva frågan: Du kan ha den vanliga skalärprodukten som en inre produkt, men även en "viktad" skalärprodukt, på formen . Du måste ju inte heller matcha varje $x_i$ med $y_i$ (med betoning på "i").

Eftersom en inre produkt kan skrivas på formen  med en symmetrisk positiv definit matris A, så måste ju inte A vara diagonal (som då blir den vanliga skalärprodukten).

Den här texten kanske kan vara intressant att läsa igenom. 

PERFEKT TEXT!! nu läser jag den, tack moffen

aflum: är den inte linjär?

moffen: mm alltså det som står i texten

edit: herregud det är ju peyam från youtube som har skrivit den!!!!!

Nu har jag läst den. Trevligt trevligt, roligt roligt.

Övning: Utgå från karaktäriseringen av de inre produkterna på $\mathbb {R}^n$ i pdf:en som Moffen länkade för att ge en ännu mer konkret karaktärisering i specialfallet $n=2$. Det vill säga: ge en så hands-on beskrivning som möjligt av hur en genrell inre produkt på $\mathbb{R}^2$ ser ut.

Om det är svårt kan du börja med att ge ett par tre stycken konkreta exempel på inre produkter på $\mathbb{R}^2$ (som inte bara är skalningar av varandra).

Om det är lätt kan du göra samma sak för $n=3$.

Edit: Flyttade om förslagen lite.

Nollprodukten, den vanliga skalärprodukten och... 

Men nu börjar jag tvivla... Jag måste läsa en gång till

Qetsiyah skrev:

Nollprodukten, den vanliga skalärprodukten och... 

Men nu börjar jag tvivla... Jag måste läsa en gång till

Riktigt så enkelt är det inte!

Börja med att skriva ner definitionen av en inre produkt på ett vektorrum $V$ (över $\mathbb {R}$, skit i komplexa skalärer för tillfället), och jämför sedan med dina exempel.

(Vi hjälper dig om du kör fast!)

Ja minustecknet ser inte bra ut

Nollprodukten menar jag är att allt bara är gånger noll

Citera definitionen av en inre produkt, så kan vi resonera vidare utifrån den!

Ojdå, nollprodukten fungerar inte heller för den uppfyller inte 

Men då föreslår jag en annan

Nä, det fungerar inte heller för den uppfyller inte 

(som du kan se försöker jag skriva den enklaste möjliga inre produkten)

Jag tittar bara på wikipedia:

kommutativitet:

Att den ska vara positiv definit:

Att den ska vara linjär i första variabeln (varför inte båda?)

Bra! Bara för att vi ska ha en helt precis definition, så skulle jag säga följande:

Definition. En inre produkt på ett reellt vektorrum $V$ är en avbildning $\langle .,\rangle:V\times V\to\mathbb{R}$ som uppfyller följande egenskaper:

(i) Den är symmetrisk: $\langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle$ för alla $x,y\in V$.

(ii) Den är positiv definit: $\langle x,x\rangle \geqslant 0$ för alla $x\in V$, och $\langle x,x\rangle = 0\iff x=0$

(iii) Den är linjär första argumentet: $\langle ax+by,z\rangle=a\langle x,z \rangle+b\langle y,z\rangle$ för alla $a,b\in\mathbb{R}$ och $x,y\in V$.

Det är värt att notera att (i) och (iii) tillsammans ger att en inre produkt alltid är linjär även i det andra argumentet! (Personligen brukar jag, och många med mig, inkludera linjäriteten i båda argumenten i definitionen, trots att det alltså är ett överflödigt villkor, eftersom definitionen annars, precis som du reagerade på, ser lite misstänkt "assymetrisk" ut.)

Att försöka hitta ett så enkelt exempel som möjligt på en skalärprodukt på $\mathbb{R}^2$ låter som en god matematisk instinkt! Men det är som du har sett nu lite lättare sagt än gjort :)

Här får vi hjälp av pdf:en som Moffen länkade, där ett av huvudresultaten är följande:

Sats. Varje symmetrisk matris $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ med enbart positiva egenvärden ger upphov till en inre produkt på $\mathbb{R}^n$ definierad av $\langle x,y\rangle =x^t A y$, och omvänt: varje inre produkt på $\mathbb{R}^{n\times n}$ kan skrivas på den formen för någon symmetrisk matris $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ med enbart positiva egenvärden.

Detta ger upphov till ett 1-till-1-förhållande mellan inre produkter på $\mathbb{R}^n$ och symmetriska matriser $n\times n$-matriser med positiva egenvärden.

Att hitta inre produkter på $\mathbb{R}^2$ kan alltså kokas ner till att hitta symmetriska $2\times 2$-matriser med endast positiva egenvärden. Om du har hunnit läsa något om egenvärden så kanske det är ett enklare problem att attackera? Annars får du försöka kämpa lite till med trial and error - eller återkomma till den här tråden i senare i vår när du har kommit längre i din LinAlg-kurs! :) 

En liten hjälp om du vill försöka kämpa dig fram med trial and error kommer här!

Låt $\langle .,.\rangle$ vara en godtycklig inre produkt på $\mathbb{R}^2$, och låt $\mathbf{x}=x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2$ respektive $\mathbf{y}=y_1\mathbf{e}_1+y_2\mathbf{e}_2$ vara två godtyckliga vektorer, där $\mathbf{e}_1=(1,0)$ och $\mathbf{e}_2=(0,1)$ är de vanliga standardbasvektorerna i $\mathbb{R}^2$.

Då ger linjäriteten hos det första argumentet och linjäriteten hos det andra argumentet att

   $\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\langle x_1\mathbf{e}_1+x_2\mathbf{e}_2,y_1\mathbf{e}_1+y_2\mathbf{e}_2\rangle\\\:=x_1\langle \mathbf{e}_1,y_1\mathbf{e}_1+y_2\mathbf{e}_2\rangle+x_2\langle \mathbf{e}_2,y_1\mathbf{e}_1+y_2\mathbf{e}_2\rangle\\\:=x_1y_1\langle {\color{blue}\mathbf{e}_1,\mathbf{e_1}\rangle} +x_1y_2\langle {\color{red}\mathbf{e}_1,\mathbf{e_2}\rangle} +x_2y_1\langle {\color{red}\mathbf{e}_2,\mathbf{e_1}\rangle} +x_2y_2{\color{green}\langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e_2}\rangle}\,,$

där $\color{blue}\langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e_1}\rangle$, $\color{red}\langle \mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2\rangle\color{black}=\color{red}\langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e}_1\rangle$ (kom ihåg att en inre produkt per definition är symmetrisk!) och $\color{green}\langle \mathbf{e}_2,\mathbf{e_2}\rangle$ är tre stycken reella tal som helt bestämmer den inre produkten.

Detta är värt att stanna upp och meditera lite över! (Du kan också jämföra detta med faktumet att en linjär avbildning bestäms helt och hållet av vad den gör på en uppsättning basvektorer för domänen, vilket är hela idén bakom att använda matriser för att beskriva linjära avbildningar.)

En generell inre produkt på $\mathbb{R}^2$ kan alltså skrivas på formen

   $\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle={\color{blue}p}\,x_1y_1+{\color{red}q}\,x_1y_2 +{\color{red}q}\,x_2y_1+{\color{green}r}\,x_2y_2\,,$

för några väl valda koefficienter $p,q,r\in\mathbb{R}$. (Se där, din misstanke från tidigare i tråden, om att inre produkter alltid innehåller multiplikation av koordinaterna var alltså riktig!) Frågan nu är bara vilka värden på $p$, $q$ och $r$ som verkligen ger en fungerande inre produkt, alltså en avbildning som uppfyller kraven (i), (ii) och (iii) ovan. 

Vi vet redan att $p=r=1$ och $q=0$ fungerar (detta ger den vanliga skalärprodukten).

Vi har också kunnat konstatera att $p=q=r=0$ inte fungerar (det bryter mot krav (ii)).

Kan du hitta fler exempel som fungerar respektive inte fungerar?