Linjär algebra+analys: supremumnormnotation med oändlighetstecken

En norm är bara en funktion som uppfyller vissa villkor. Den vanligaste är väl den du är van vid, roten ur summan av komponenterna i kvadrat.

Där har dom definierat en annan norm, på det sättet (och för att inte förvirra sig om vilken norm man pratar om så skriver vi ett $\infty$ nere i högra hörner).

Ta som en övning att bevisa att det faktiskt är en norm också.

Man använder oändlighetstecknet eftersom man kan se supremumnormen som en generalisering av en samling andra normer med norationerna $||f||_1$ och $||f||_2$, osv. 

Om vi börjar med normala N-dimensionella komponentvektorer. Då är 2-normen den euklidiska normen

$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^N |x|_i^2}$

och n-normen är 

$||x||_n = \sqrt[n]{\sum_{i = 1}^N |x_i|^n}$

Om du tar och låter $n \to \infty$ så inser du att effekten av detta är att ge mer och mer vikt till det största elementet i vektorn.

Ex:

$||(1,3, -7)||_{100} = \sqrt[100]{1^{100} + 3^{100} + 7^{100}} \approx 7.00015$

Så

$||x||_\infty = \max |x_i|$ 

För funktioner kan du göra någor liknande med n-normerna

$||f||_n = \left (\int |f|^n dx \right )^{1/n}$

där ett gränsvärde mot oändligheten konceptellt motsvarar supremumnormen. 

SeriousCephalopod skrev:

Man använder oändlighetstecknet eftersom man kan se supremumnormen som en generalisering av en samling andra normer med norationerna $||f||_1$ och $||f||_2$, osv. 

Om vi börjar med normala N-dimensionella komponentvektorer. Då är 2-normen den euklidiska normen

$||x||_2 = \sqrt{\sum_{i = 1}^N |x|_i^2}$

och n-normen är 

$||x||_n = \sqrt[n]{\sum_{i = 1}^N |x_i|^n}$

Om du tar och låter $n \to \infty$ så inser du att effekten av detta är att ge mer och mer vikt till det största elementet i vektorn.

Ex:

$||(1,3, -7)||_{100} = \sqrt[100]{1^{100} + 3^{100} + 7^{100}} \approx 7.00015$

 

Så

$||x||_\infty = \max |x_i|$ 

För funktioner kan du göra någor liknande med n-normerna

$||f||_n = \left (\int |f|^n dx \right )^{1/n}$

där ett gränsvärde mot oändligheten konceptellt motsvarar supremumnormen. 

Åhhhh!