Linjär algebra+analys-ish: komplext funktionsrum

Nej. Om varje linjärkombination (och så vidare) så är det ett komplext vektorrum. Om inte villkoret är uppfyllt, är det inget komplext vektorrum.

Man kan axiomatisera vektorrum på olika sätt (och får samma struktur)

Man kan börja med en lång lista av flera enklare påståenden: sluten över addition (v + u är i mängden), sluten över skalärmultiplikation ( kv är i mängden), det finns en nollvektor osv. Eller så kan man komprimera ner flera av dessa axiom till bara påståendet

$c_1 f_1 + c_2 f_2 \in V \quad \forall c_1,c_2 \in I, \; \forall f_1,f_2 \in V$

som innehåller saker som $f_1 + f_2 \in V$ som specialfall ($c_1, c_2 = 0$). Eller så kan man gå från listan över kortare påståenden och konstruera detta väldigt omfattande påstående. 

Det som är intressant med axiomatisering är att det ofta flippar vad som är sats och vad som är definition, vad som är trivialt och komplext, på intressanta vis.

Min personligen mest intressanta upplevelse av detta vad när jag försökte ha Rudins och Avners böcker om måttteori/funktionalanalys-böcker parallellt och axiomatiseringen var så olika att vad som var en trivial konsekvens av en definition enligt den enas axiomatisering var en benknäckande exercis i den andra och vice versa. 

Notera att mängden av alla komplexvärda funktioner ${\mathrm{ℂ}}^I$på en icke-tom mängd I är ett vektorrum över $\mathrm{ℂ}$, med addition och skalär multiplikation definierade på vanligt sätt.

Så frågan är bara om B är ett underrum till ${\mathrm{ℂ}}^I$, och satsen använder bara ett standardtest för att kolla om en delmängd av ett vektorrum är ett underrum till ${\mathrm{ℂ}}^I$.

Petimeterpeter kan inte låta bli att påpeka ett skrivfel:

saker som f1+f2∈V som specialfall (c1,c2=0)

c1,c2=1 bör det vara.