Linjär algebra: alla n-dimensionella vektorrum över F är isomorf med Fn?

Korrekt (F en kropp och i alla fall i fallet $n<\infty$). 

Beviset är inte särskilt krångligt eller avancerat. Vågar du ge dig på ett försök? Det är en bra övning.

Jaa... kanske det? 

Kan börja med att säga att alla vektorrum har en bas, benämn den B. Skapa avbildningen för varje vektor (b1, b2... bn) i basen B i rummet V bi∈F ∀i till... Ja, samma vektor i Fn. Denna avbikdning är bijektiv för att den är 1) injektiv för att varje vektor i V representeras unikt 2) surjektiv för att det är tal om samma kropp F. En bijektion mellan två vektorrum är en isomorfism.

Så typ?

Du kanske borde kolla/motivera linjaritet också, bara bijektion räcker inte för isomorfi.

Jaha... ja okej men kan du då hitta på en ickelinjär bijektion mellan isomorfa vektorrum?

Edit: eller jag menar, finns det generellt bijektioner mellan strukturer vi på förhand vet är isomorfa? Jag vet aldrig om jag frågar självklara frågor

Ja, uppenbarligen är R isomorf med R t.ex. Men en bijektion som inte är en isomorfi skulle kunna vara f(x)=x+1.

Ohjdå... så dumt! 

Men jag har en till fråga, är en isomorfism alltid unik?

Nej, inte unik. Ta en rotation med 60˚ i ${\mathrm{ℝ}}^2$. Det är en isomorfism från ${\mathrm{ℝ}}^2$ till ${\mathrm{ℝ}}^2$. Men det är även en rotation med 30˚, 45˚ osv.

Tack

En inflikning kan dock vara att begreppet "dimension" inte är frikopplat från kroppen som vektorrummet är definierat över.

Om jag tar det komplexa talplanet $\mathbb C$ och ser det som ett vektorrum över $\mathbb{R}$ dvs med förlängning men inte komplex multiplikation så har det "reell" dimension 2 och är det isomorft mot $\mathbb{R}^2$ över reella talen. Om man däremot ser $\mathbb{C}$ som ett vektorrum över $\mathbb{C}$ så har det komplex dimension 1 och en följdfråga blir vad det är isomorft med. 

Ah, ja. Påminner om denna grej jag läste för ett tag sen

Men jag har då en fråga, varför är isomorfismer endast definierade för vektorrum över samma kropp?

Idén med ismorfier är att de bevarar strukturer och att man i någon mening inte kan se skillnad på isomorfa objekt. Att har olika kropp är rätt stor skillnad.

Från definitionen så har vi att f(ax)=af(x) för element a ur kroppen. Dvs multiplikation med a ska vara definierat på före och efter funktionen har applicerats.