Linjär Algebra

Bortse först från X3 och rita triangeln i (X1, X2) från punkterna (0, 0); (0,1) och (1,0)
Sen kan du tänka dig hur X3 pekar lodrätt upp/ner från pappret.

Affe Jkpg skrev :

Bortse först från X3 och rita triangeln i (X1, X2) från punkterna (0, 0); (0,1) och (1,0)
Sen kan du tänka dig hur X3 pekar lodrätt upp/ner från pappret.

Tack så mycket för att du tagit dig tiden att hjälpa!

Många frågetecken fortfarande, om du har lust att försöka förklara närmare

1. VArför kan jag bortse från x3, ärdet bara för att försöka att förstå vad som händer bättre?
2. Varför kan jag tänka att x3 pekar lodrätt upp/ner från pappret

3. VArför just dessa koordinater i 2d?

Jag vet att det säkert är jäkligt svårt att förklara, men hoppas iaf någon vänlig själ vill hjälpa mig att förstå!

1. Varför kan jag bortse från x3, är det bara för att försöka att förstå vad som händer bättre?
   Jo det är enkelt att rita ett X1-X2-koordinat-system på ditt papper
2. Varför kan jag tänka att x3 pekar lodrätt upp/ner från pappret
    För att lägga till den tredje dimensionen till ditt två-dimensionella papper

3. Varför just dessa koordinater i 2d?
    Du ritar en linje (1,0,(0)) till (0,1,(0)). Nollorna inom parentes kan du ju inte rita.
    Sedan tänker du att du tar pekfingret och trycker ner linjen till X3=-1 och kommer till
    (1,0,-1) till (0,1,-1)

Triangeln hänger då kvar med ena hörnet i (0,0,0),
men följer med den "nedtryckta linjen" i de två andra hörnen.

Hej!

Du har den linjära avbildning $T : \mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{3}$ vars matris i standardbasen $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ är

    $A = \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\ .$

Varje linjär avbildning kan bara göra tre saker med en vektor:

• Rotera vektorn
• Förlänga vektorn
• Förkorta vektorn

Basvektorerna avbildas på följande vektorer: $T(e_1) = Ae_1 = e_1$ och $T(e_2) = e_2$ och $T(e_3) = 0$ (nollvektorn). Det betyder att en godtycklig vektor

    $x = x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$

avbildas på vektorn

    $T(x) = T(x_1e_1)+T(x_2e_2)+T(x_3e_3) = x_1T(e_1)+x_2T(e_2)+x_3T(e_3) = x_1e_1+x_2e_2,$

det vill säga att vektorn $x$ roteras så att den ligger i $e_1e_2$-planet och förkortas så att dess längd blir $\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, från att ha varit $\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.$

Ett annat sätt att uttrycka detta är att $T$ projicerar på $e_1e_2$-planet; vektorn $T(x)$ kan ses som vektorn $x$:s "skugga" i $e_1e_2$-planet.

Albiki

Albiki

Albiki skrev :

Hej!

Du har den linjära avbildning $T : \mathbf{R}^{3}\to\mathbf{R}^{3}$ vars matris i standardbasen $\{e_{1},e_{2},e_{3}\}$ är

    $A = \begin{pmatrix}1&0&-1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}\ .$

Varje linjär avbildning kan bara göra tre saker med en vektor:

• Rotera vektorn
• Förlänga vektorn
• Förkorta vektorn

Basvektorerna avbildas på följande vektorer: $T(e_1) = Ae_1 = e_1$ och $T(e_2) = e_2$ och $T(e_3) = 0$ (nollvektorn). Det betyder att en godtycklig vektor

    $x = x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$

avbildas på vektorn

    $T(x) = T(x_1e_1)+T(x_2e_2)+T(x_3e_3) = x_1T(e_1)+x_2T(e_2)+x_3T(e_3) = x_1e_1+x_2e_2,$

det vill säga att vektorn $x$ roteras så att den ligger i $e_1e_2$-planet och förkortas så att dess längd blir $\sqrt{x_1^2+x_2^2}$, från att ha varit $\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}.$

Ett annat sätt att uttrycka detta är att $T$ projicerar på $e_1e_2$-planet; vektorn $T(x)$ kan ses som vektorn $x$:s "skugga" i $e_1e_2$-planet.

Albiki

Albiki

Tack Albiki, 

Detta var den bästa förklaringen jag någonsin läst faktiskt. Förklarngen som du gör i slutet:

"vektorn xx roteras så att den ligger i e1e2e1e2-planet och förkortas så att dess längd blir x21+x22−−−−−−√x12+x22, från att ha varit x21+x22+x23−−−−−−−−−−√. "

Tycker du att det är ett lämpligt svar att ge på en tenta när frågan är att tolka geometrisk vad avbildningsmatrisen beskriver?

För detta förstår jag faktiskt väldigt bra, men sen det där med att det är en skugga eller något sånt, är inte något jag är lika trygg i! Vad tror du?

Uppgift:
Ge en geometrisk tolkning till avbildningsmatrisen.

Mina enkla skisser visar en liksidig triangel med sidan = $\sqrt{2}$ ... men det var kanske för enkelt för att vara sant :-)

Affe Jkpg skrev :

Uppgift:
Ge en geometrisk tolkning till avbildningsmatrisen.

Mina enkla skisser visar en liksidig triangel med sidan = $\sqrt{2}$ ... men det var kanske för enkelt för att vara sant :-)

Rent geometriskt brukar i facit vara något typ "En ortognal projektion på planet 2x+y=0

Kvadratenskvadrat skrev :

Affe Jkpg skrev :

Uppgift:
Ge en geometrisk tolkning till avbildningsmatrisen.

Mina enkla skisser visar en liksidig triangel med sidan = $\sqrt{2}$ ... men det var kanske för enkelt för att vara sant :-)

Rent geometriskt brukar i facit vara något typ "En ortognal projektion på planet 2x+y=0

Jaha...matematiskt "ordbajseri".... liksidig triangel är för futtigt :-)

* En projektion av triangeln ortogonalt relativt X1-X2-planet ,
är likbent med basen = $\sqrt{2}$ och sidorna = 1.

* Den liksidiga triangeln med sidan= $\sqrt{2}$ bildar ett plan, som vars ortogonal bildar en vinkel som är 45 grader relativt X1-X2-planet.

Affe Jkpg skrev :

Kvadratenskvadrat skrev :

Visa föregående citat

Affe Jkpg skrev :

Uppgift:
Ge en geometrisk tolkning till avbildningsmatrisen.

Mina enkla skisser visar en liksidig triangel med sidan = $\sqrt{2}$ ... men det var kanske för enkelt för att vara sant :-)

Rent geometriskt brukar i facit vara något typ "En ortognal projektion på planet 2x+y=0

Jaha...matematiskt "ordbajseri".... liksidig triangel är för futtigt :-)

* En projektion av triangeln ortogonalt relativt X1-X2-planet ,
är likbent med basen = $\sqrt{2}$ och sidorna = 1.

* Den liksidiga triangeln med sidan= $\sqrt{2}$ bildar ett plan, som vars ortogonal bildar en vinkel som är 45 grader relativt X1-X2-planet.

 

Jaha, men varför överensstämmer detta inte med albikis svar? Alb brukar leverera träffsäkra svar. Eller är båda er svar rätt?