linjär algebra

$$\begin{gathered} M_{11}=\frac{1}{2}\left(Q\left(\left(1,1\right)+\left(1,1\right)\right)-Q\left(1, 1\right)-Q\left(1, 1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(Q\left(2, 2\right)-2Q\left(1, 1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(12-2·3\right)=3 \\ {M}_{12}=\frac{1}{2}\left(Q\left(\left(1, 1\right)+\left(-1, 1\right)\right)-Q\left(1, 1\right)-Q\left(-1, 1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(Q\left(0, 2\right)-Q\left(1, 1\right)-Q\left(-1, 1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(4-3-1\right)=0 \\ {M}_{22}=\frac{1}{2}\left(Q\left(\left(-1, 1\right)+\left(-1, 1\right)\right)-Q\left(-1, 1\right)-Q\left(-1, 1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(Q\left(-2, 2\right)-2Q\left(-1, 1\right)\right)=\frac{1}{2}\left(4-2·1\right)=1 \end{gathered}$$

Du kan även lösa uppgiften med basbytesmatrisen._. Låt ${\left[Q\right]}_B$ vara matrisen relativt basen B och ${\left[Q\right]}_E$ vara matrisen relativt standardbasen E, dvs svaret på fråga (a). Sambandet mellan dessa ges av

${\left[Q\right]}_B=P_{B\to E}^T{\left[Q\right]}_E{P}_{B\to E}$,

där $P_{B\to E}$ är basbytesmatrisen från B till E.

Således

${\left[Q\right]}_B={\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$.

förstår inte riktigt. Varför är följande lösning fel? 

$$\begin{gathered} Q_B=P_{E\to B}Q{P^{-1}}_{E\to B} \\ {P}_{E\to B}= \left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -1/2& 1/2\end{array}\right] \\ {P^{-1}}_{E\to B}=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right] \\ {Q}_B= \left[\begin{array}{cc}1/2& 1/2\\ -1/2& 1/2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3/2& 0\\ 0& 1/2\end{array}\right] \end{gathered}$$

för $P_{B\to E} eller P_{E\to B} är inte ortogonala matris så då följer det inte att P^{-1}=P^T$

Formeln är faktiskt den som jag beskrev. Det skall vara transponat och inte invers.

Du tänker på formeln för samband mellan matriserna för en linjär avbildning T. Då gäller formeln

${\left[T\right]}_B=P_{E\to B}{\left[T\right]}_E{P}_{B\to E}=P_{B\to E}^{-1}{\left[T\right]}_E{P}_{B\to E}$.

Men här är det matriserna för en kvadratisk form Q som det handlar om, då har vi en lite annorlunda formel

${\left[Q\right]}_B=P_{B\to E}^T{\left[Q\right]}_E{P}_{B\to E}$.

Så det förklarar det hela.