Linjär algebra

Hur har du börjat? Hur har du besvarat fråga a)? :)

jag räknade ut determinanten och det blev noll och då är den linjärt beroende

Det stämmer. Så, på b vill vi använda polynomen för att uttrycka x. Med andra ord, vi vill hitta några värden a, b och c, sådana att $a·p_1\left(x\right)+b·p_2\left(x\right)+c·p_3\left(x\right)=q\left(x\right)$. Om vi utvecklar denna ekvation får vi: 

$\left(1+x\right)a+\left(-1-x-x^2\right)b+\left(1+x-x^2\right)c=3-2x+5x^2$

Om vi utgår ifrån att vi har basen $1,\;x,\;x^2$, kan vi skriva om ekvationen till

$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ -1& -1& -1\\ 1& 1& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3\\ -2\\ 5\end{array}\right]$

Finns det några värden a, b och c som uppfyller denna ekvation? :)

Nej lösning saknas!

Det stämmer! Och då är slutsatsen? :)

Det står att man skall utgå från definitionen av linjärt oberoende i fråga a). Man kan tex notera att p₃ = p₂ + 2p₁.

På fråga b) så kan man först notera att p₁ och p₂ utgör en bas för det givna spannet. Så för att avgöra om q tillhör spannet så kan man försöka avgöra om p₁, p₂ och q är linjärt oberoende eller inte. q tillhör spannet om och endast om vektorerna är linjärt beroende. Detta är ju en fråga av den typ som du redan löst i a).

PATENTERAMERA skrev:

Det står att man skall utgå från definitionen av linjärt oberoende i fråga a). Man kan tex notera att p₃ = p₂ + 2p₁.

På fråga b) så kan man först notera att p₁ och p₂ utgör en bas för det givna spannet. Så för att avgöra om q tillhör spannet så kan man försöka avgöra om p₁, p₂ och q är linjärt oberoende eller inte. q tillhör spannet om och endast om vektorerna är linjärt beroende. Detta är ju en fråga av den typ som du redan löst i a).

vad hjälper  p3 = p2 + 2p1 oss med?  och hur vet man att man ska endast kolla ifall p1, p2 och q  är linjärt oberoende och inte p1, p2, p3 och q?

En uppsättning vektorer är linjärt beroende om och endast om någon vektor i uppsättningen kan skrivas som en linjärkombination av andra vektorer i uppsättningen.

p1, p2 och p3 utgör inte en bas för det givna spannet, eftersom de är linjärt beroende. Däremot så utgör p1 och p2 en bas för spannet, eftersom de är linjärt oberoende och p3 kan skrivas som en linjärkombination av p1 och p2. Så q ligger i spannet om och endast om q kan skrivas som en linjärkombination av p1 och p2, vilket bara är möjligt om p1, p2 och q är linjärt beroende.

@PATENTERAMERA: Utgör p₁ och p₂ verkligen en bas? Det ska ju i sådant fall gå att kombinera basvektorerna på olika sätt, så att vi kan få 1, $x$ och $x^2$ separat. $-p_2\left(x\right)-p_1\left(x\right)=x^2$, men hur får vi 1 respektive x ensamt? Måste vi inte ha tre oberoende vektorer för att få en bas i R³?

Smutstvätt skrev:

@PATENTERAMERA: Utgör p₁ och p₂ verkligen en bas? Det ska ju i sådant fall gå att kombinera basvektorerna på olika sätt, så att vi kan få 1, $x$ och $x^2$ separat. $-p_2\left(x\right)-p_1\left(x\right)=x^2$, men hur får vi 1 respektive x ensamt? Måste vi inte ha tre oberoende vektorer för att få en bas i R³?

De utgör en bas för det givna spannet i uppgiften. Dvs de är en bas för span(p1, p2, p3).

Aha, ja självklart! Slarvigt läst av mig. :(

PATENTERAMERA skrev:

En uppsättning vektorer är linjärt beroende om och endast om någon vektor i uppsättningen kan skrivas som en linjärkombination av andra vektorer i uppsättningen.

p1, p2 och p3 utgör inte en bas för det givna spannet, eftersom de är linjärt beroende. Däremot så utgör p1 och p2 en bas för spannet, eftersom de är linjärt oberoende och p3 kan skrivas som en linjärkombination av p1 och p2. Så q ligger i spannet om och endast om q kan skrivas som en linjärkombination av p1 och p2, vilket bara är möjligt om p1, p2 och q är linjärt beroende.

hur undersöker man om q ligger i spannet då ? vilka beräkningar ska man göra?

Om p1, p2 och q är linjärt beroende så ligger q i spannet, annars inte. Du kan använda determinant som du gjorde först på fråga a) om du så vill, för det står ingenting i b) om att man måste utgå från definitionen av linjärt oberoende så att utnyttja determinant skulle väl vara i sin ordning här. Eller så använder du definitionen av linjärt beroende, eller så ser du om du kan uttrycka q som en linjärkombination av p1 och p2.

vad menar du med at man kan använda determinanten? på vilket sätt alltså!

sin 2x skrev:

vad menar du med at man kan använda determinanten? på vilket sätt alltså!

Du skrev ju själv att du först löste a) med determinant. Hur gjorde du då? Gör samma här.

ja, men menar du att jag ska räkna determinanten för p1 och p2 bara eller?

Du behöver ta med q också.