Linjär algebra

Hej, jag vet inte hur jag ska ta mig an följande upg. Kan ni hjälpa mig?

Triangeln ABC har tyngdpunkten M. Visa att $\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = 0$ .

Först och främst, rita en figur.

För att lösa den här uppgiften behöver du känna till något om tyngdpunkten i en triangel.

T.ex. får man tyngdpunkten i en triangel om man lägger ihop koordinaterna för varje hörn och delar med tre.

Du kan utan inskränkning lägga ett av hörnen, t.ex. C, i origo.

Kan du uttrycka de övriga hörnen, A B, i termer av vektorerna $\vec{MA}, \vec{MB}$ och $\vec{MC}$ ?

Kan du uttrycka tyngdpunkten M på samma sätt?

Slutligen tillämpar du att tyngdpunkten alltså ska uppfylla $\frac{A+B+C}{3}=M$

Du kan använda "de Chasles relation".

$\vec{M A} + \vec{M B} + \vec{M C} = \vec{M O} + \vec{O A} + \vec{M O} + \vec{O B} + \vec{M O} + \vec{O C}$ .

Du kan lösa den här uppgiften med samma resonemang som den du hade om medelpunkten. Eftersom det är givet att M är tyngdpunkten så gäller alltså att OM=1/3(OA+OB+OC)

OX+XY=OY (för godtyckliga punkter)

OM+MA=OA
MA=OA-OM
likaså för övriga
MB=OB-OM
MC=OC-OM

MA+MB+MC=(OA-OM)+(OB-OM)+(OC-OM)=OA+OB+OC-3OM=
OA+OB+OC-3*1/3(OA+OB+OC)=0
alltså:
MA+MB+MC=0

Tack för alla bra svar! (:

Svara

Visa senaste svar