linjär algebra
Hej, jag undrar på om oändligtdimensionella vektorrum har ändliga baser.
eftersom en oändligtdimensionella vektorrum generaras av oändlig antal vektorer, men är inte söker om basene är ändlig eller inte det.
Nej. En bas B för ett vektorrum V uppfyller två saker. B är en linjärt oberoende mängd. B spänner upp V. Så om du definierar ett oändligdimensionellt vektorrum som ett vektorrum som inte kan spännas upp av en ändlig mängd av vektorer, så kan det uppenbarligen inte finnas någon ändlig bas.
Jag är inte säker på vad du frågar om, men jag försöker svara i alla fall.
Att ett rum har oändligt antal dimensioner är samma sak som att det finns oändligt många linjärt oberoende vektorer i det. I ett 2-dimensionellt rum, t.ex. ℝ2, kan du bara hitta 2 linjärt oberoende vektorer. Vilken annan vektor du väljer som nummer 3 kan du uttrycka som en linjärkombination av de 2 första. Du kan t.ex. välja vektorerna b1=(1,1) och b2=(3,0). Med dessa 2 kan du beskriva alla andra vektorer i . Dessa 2 utgör då en bas i ℝ2. Basen (b1, b2) är ändlig, bara 2 vektorer. I ett 3-dimensionellt rum är det 3 vektorer i basen o.s.v. Alltså är det oändligt många vektorer i basen om rummet är oändligtdimensionellt. Det är t.o.m. så att du kan se det som definitionen av dimension. Antalet linjärt oberoende vektorer i basen är detsamma som rummets dimension.
Det är inte så att du blandar ihop dimensionalitet med hur många vektorer det finns i det vektorrummet? Ett vektorrum kan innehålla oändligt många vektorer men ett ändligt antal dimensioner.
tack så mycket , så detta betyder att påståendet <Varje vektorrum har en ändlig bas;> är falskt.
Man brukar vanligen börja med att definiera vad man menar med ett ändligdimensionellt vektorrum. Sedan säger man att ett vektorrum är oändligdimensionellt om det inte är ändligdimensionellt.
Tex Sheldon Axler (Linear Algebra Done Right) definierar ett ändligdimensionellt vektorrum som ett vektorrum som kan spännas upp av en ändlig uppsättning vektorer. Det finns andra (ekvivalenta) definitioner dock.
Jag har inte sett någon annan definition av begreppet (Hamel) bas än den som jag gav tidigare - här bortser jag från andra typer av baser såsom Schauder-baser, Hilbert-baser etc. som baseras analytiska tekniker och inte är rent algebraiska i sin natur.
Således, med dessa definitioner, kan man med säkerhet säga att ett oändligdimensionellt vektorrum inte kan ha en ändlig bas. Men om vi skall vara noga här så kan vi utifrån det som sagts ovan inte ens med säkerhet säga att ett oändligdimensionellt vektorrum måste ha en bas överhuvudtaget, eller att två baser för ett oändligdimensionellt vektorrum måste ha ”lika många” vektorer (dvs samma kardinalitet). För det krävs ytterligare undersökningar (svaret är ja på båda frågorna, se Advanced Linear Algebra av Steven Roman).
tack så mycket
