linjär algebra
låt pi1, pi2, vara två plan i R^3 givna av ekvationerna
pi1: x+y+z=0 och pi2: x+2y+3z=2
ge exempel på ett plan pi3 så att alla tre planen skär varandra i exakt en linje.
hej, jag vet at tre plan skär varandre i exact en linje då ekvationsystemet av de tre plan har oändligt många lösningar.
men jag vet inte hur jag ska formulera detta systemet.
kan någon hjälpa mig.
mvh
suad
Jag tror jag skulle ta reda på vilken den linjen är, och sedan ta fram alla plan som går genom den linjen, och sen välja ett av dem.
Hej, och tack för din hjälp. 
jag har nu hittat skärningslinjen mellan de två planen. Så hur kan jag ta fram alla planen som går genom linjen
mvh
suad
Ett alternativ skulle kanske kunna vara att du adderar/subtraherar de två planen du fått. Exempelvis 2*pi1-pi2 som ger x-z=-2. Det är ett nytt plan, men när du löser ekvationssystemet med de tre ekvationerna kommer du få oändligt antal lösningar, dvs de tre planen skär varandra i en linje
Annars kan du, med den start du fått given fortsätta exempelvis på följande vis:
Linjen måste vara parallell med planet. Det betyder att om du hittar en vektor som är ortogonal mot linjens riktningsvektor är den en lämplig kandidat till normalvektor till planet. Från normalvektorn kan du få konstanterna A, B och C i planets ekvation Ax+By+Cz=D. Då saknas bara att hitta konstanten D
hej, tack för din svar, men värför måste vi multiplisera planen pi1 med 2, när vi subtraherer.
mvh
suad
suad skrev:hej, tack för din svar, men värför måste vi multiplisera planen pi1 med 2, när vi subtraherer.
mvh
suad
Det var bara ett exempel på hur man kan kombinera ihop planen. pi1+pi2 funkar också utmärkt, pi1-2*pi2 också. Det viktiga är att den är en kombination av de två planen. Håller du med om och förstår att du då garanterat kommer få oändligt antal lösningar?
hej , och tack för din svar, så den tredje planen måste skrivas som en linjär kombination av de två planen. därefter löser vi systemet och detta ger då oändlig många lösningar, som betyder att alla tre plan skär varandra i en linje.
jag undrar också på om vi ska hitta en ortogonal vektor till linjen som jag fick övan, hur kan vi finna den. kan vi tolka en normalvektor från plan pi1 eller pi2, som en normalvektor till skärningslinjen som är x=-2+t, y=2-2t, z=t.
mvh
suad
suad skrev:hej , och tack för din svar, så den tredje planen måste skrivas som en linjär kombination av de två planen. därefter löser vi systemet och detta ger då oändlig många lösningar, som betyder att alla tre plan skär varandra i en linje.
jag undrar också på om vi ska hitta en ortogonal vektor till linjen som jag fick övan, hur kan vi finna den. kan vi tolka en normalvektor från plan pi1 eller pi2, som en normalvektor till skärningslinjen som är x=-2+t, y=2-2t, z=t.
mvh
suad
du behöver inte lösa ekvationssystemet och visa att det finns oändligt antal lösningar för att lösa uppgiften, men OM du skulle göra det skulle det bli oändligt antal lösningar. Och det var ju som du sa vad som skulle hända.
Den form du fått för linjen gör att du kan skriva en punkt (x,y,z) på linjen som (-2,2,0)+t*(1,-2,1). Det betyder att (1,-2,1) är en vektor som är parallell med linjen. Då kan du välja vilken vektor som helst som är ortogonal med den, dvs skalärprodukten mellan normalen och vektorn (1,-2,1) ska vara 0.
Tack så mycket, jag har nu beräknat skälarprodukt mellan (1,-2,1).(x,y,z)=0, och detta ger ekvationen för
planet lik x-2y+z=0, håppas att detta är rätt
mvh
suad
Visa spoiler
Skriv ditt dolda innehåll här
Nja, jag skulle inte säga att det är korrekt. Du ska räkna ut normalvektorn, så du måste lösa den där ekvationen du får. Den ekvationen du får är alltså inte en ekvation för ett plan.
Om ekvationen för planet är Ax+By+Cz=D så är planets normal vektorn (A,B,C), är du med på det? Den ekvation du skrivet, vad har den för normal? Är den verkligen ortogonal med (1,-2,1)?
även om man kan lösa den ekvation du beskrivit för att hitta en normal tror jag det är enklare att bara välja en ansats som att säga att de två först komponenterna är 1 och 0, och sen avgöra vad den sist ska vara för att skalärprodukten blir 0.
Hej, nu hittar jag normalen som är (1,0,-1), och hittar ekvation för planet gennom att använda punkten i skärningslinjen som är (-2,2,0). Och får planetsekvation lik x-z=0
är detta rätt.
mvh
suad
Det har blivit något fel med konstanten D. Du får x-z=D. Om du då stoppar in x=-2 och z=0 blir det -2=D
Notera att du kunde ha använt en annan ansats, typ att de två första komponenterna är 2 och 1. Du behöver bara hitta en av alla möjliga normaler :)
Jag glömde -2 på höger siden för ekvationen
så planets ekvation är x-z=2
Tack så mycket det var till stor hjälp , så den tredje planen kan till exempel vara x-z=-2
mvh
suad
