Linjär algebra

Jag tänker så här: Du har vektorn $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$ som innehåller en parameter a (vilket är längden i x-led). Dela upp den i två komponenter: en som är vinkelrät (ortogonal) mot planet och en som ligger i planet. Dessa nya vektorer kommer också att innehålla parametern a. Låt a=1, vad händer med dessa två vektorer? 

Börja med den ortogonala komponenten (men heter det inte komposanten?). Vilken riktning har den? Hur lång är den? 

Eftersom planet är x-2y+3z=5 blir normalvektorn $\stackrel{\rightharpoonup }{n}=(1,-2,3)$. Denna bör då även bli samma som $\stackrel{\rightharpoonup }{a}\perp$?

a är ingen vektor utan en konstant (skalär).

När du nu har planets normalvektor kan du räkna ut de två projektionerna av vektorn $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$på $\stackrel{\rightharpoonup }{n}$samt på planet. Hur ser dessa projektioner ut?

${\overrightarrow{u}}_{\perp }$ skall vara parallell med $\overrightarrow{n}$ och ${\overrightarrow{u}}_{\parallel }$ skall vara ortogonal mot $\overrightarrow{n}$.

Om ${\overrightarrow{u}}_{\perp }$ är parallell med $\overrightarrow{n}$ så finns det någon skalär $\lambda$ sådan att ${\overrightarrow{u}}_{\perp }$ = $\lambda \overrightarrow{n}$. Således har vi

$\overrightarrow{u}$ = $\lambda \overrightarrow{n} + {\overrightarrow{u}}_{\parallel }$    (1).

Om du skalärmultiplicerar båda led i (1) med $\overrightarrow{n}$ så kan du sedan bestämma värdet på $\lambda$.

När du nu har planets normalvektor kan du räkna ut de två projektionerna av vektorn $\stackrel{\rightharpoonup }{u}$på $\stackrel{\rightharpoonup }{n}$samt på planet. Hur ser dessa projektioner ut?

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}\perp =\frac{\stackrel{\rightharpoonup }{u}*\stackrel{\rightharpoonup }{n}}{\stackrel{\rightharpoonup }{n}*\stackrel{\rightharpoonup }{n}}*\stackrel{\rightharpoonup }{n}$ =$\frac{a-1}{14}(1,-2,3)$

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}\parallel =\stackrel{\rightharpoonup }{u}-\stackrel{\rightharpoonup }{u}\perp = (a,2,1)-\frac{a-1}{14}(1,-2,3)$

Sedan ska man sätta a till 1 bara?

Utan att ha granskat dina räkningar för att se om de är rätt så är nästa steg att sätta a till 1, precis som du säger. Det händer spännande saker då, nämligen ...

$\stackrel{\rightharpoonup }{u}\perp =\stackrel{\rightharpoonup }{0}$

Om denna är nollvektor så är den parallell med planet?

Jupp! Så ser jag det också. Bra jobbat!!