Linjär Algebra

Det ser ut som om du beräknar determinanterna och sedan multiplicerar dem. Men det är väl inte det du ska göra?

Det är väl matrismultiplikation du ska använda?

Som du kanske lägger märke till så frågar jag hur man gör, dvs jag vet inte hur man gör, och därav uppkomsten av min tråd. Men tack för tipset, ska läsa på om Matrismultiplikation.

Precis, A och B är matriser, hur använder man sig av matrismultiplikation? X är för övrigt en vektor.

Hej! 

Om du multiplicerar 2 stycken matriser så får du en ny matris och inte ett tal som blivit ovan.

Sedan när det gäller AX=B:
Känner du till hur man tar inversen av en matris? 
Då kan man skriva om. 

$AX=B till X=A^{-1}B$     Sen är det bara att lösa matrismultiplikationen

Hej Kaktusen! 

Jag förstod detta efter lite eftersökning, inversen vet jag hur man tar som tur är. 

Men X blir väll en matris då med va?

Ja, X blir en 2 x 2 - matris. 

Jag har löst $X=A^{-1}B$.  

Vad betyder AX=X+AB, vad är det man ska göra här?

AX=X+AB löses precis som vanlig ekvatione. Flytta över alla X till samma sida, sen byter du ut X (tänk på att motsvarigheten till talet 1 för matriser är identitetsmatrisen) och sen får du X ensamt genom att muliplicera med någon invers från lämpligt håll.

Hondel skrev :

AX=X+AB löses precis som vanlig ekvatione. Flytta över alla X till samma sida, sen byter du ut X (tänk på att motsvarigheten till talet 1 för matriser är identitetsmatrisen) och sen får du X ensamt genom att muliplicera med någon invers från lämpligt håll.

 Hänger inte riktigt med på hur jag ska flytta över alla X, blir väll $X{X}^{-1}=\left(AB\right)A^{-1}$? 

Hej!

Såhär multiplicerar du de två matriserna $A$ och $B$.

    $\displaystyle \begin{pmatrix}-3 & 6\\-2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & -1\\2 & -4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}(-3)\cdot5+6\cdot 2 & (-3)\cdot(-1)+6\cdot(-4)\\(-2)\cdot 5+3\cdot 2 & (-2)\cdot(-1)+3\cdot(-4)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3 & -21\\-4 & -10\end{pmatrix}$.

Albiki

Albiki! Den har jag löst. Håller på med AX=X+AB.

$X{X}^{-1}=\left(AB\right)A^{-1}$, är jag fel ute eller?

Hej!

Om man byter plats på matriserna $A$ och $B$ så får man produkten

    $\displaystyle BA=\begin{pmatrix}-13 & 27\\2 & 0\end{pmatrix}$.

Som du ser kommuterar de två matriserna inte, det vill säga matrisen $AB$ är inte lika med matrisen $BA$.

Albiki

Hyperspacer skrev :

Albiki! Den har jag löst. Håller på med AX=X+AB.

$X{X}^{-1}=\left(AB\right)A^{-1}$, är jag fel ute eller?

Subtrahera $X$. Då får du $AX-X=AB$ som skulle bli $(A-I)X=AB$ och lösningen är då $X=(A-I{)}^{-1}AB$

Det du säger med $X{X}^{-1}$ är just att om $det\left(X\right)\ne 0$ så finns det en invers till X sådan att $X{X}^{-1}=I$. 

Det vill säga: Du har enhetsmatrisen på vänster sida.

Hej!

För att det ska finnas en (och endast en) matris $X$ som är sådan att matrisen $AX$ är lika med matrisen $B$ så måste matrisen $A$ vara inverterbar; det måste finnas en matris $A^{-1}$ som är sådan att matriserna $AA^{-1}$ och $A^{-1}A$ båda är lika med enhetsmatrisen $\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}$. Matrisen $A$ är inverterbar precis då talet $\det(A)$ inte är lika med talet noll; talet $\det(A)$ kallas determinanten för matrisen $A$ och är lika med

    $\displaystyle \det(A) = (-3)\cdot 3 - (-2)\cdot 6 = 3.$

Albiki

Hej!

Eftersom $\det(A) \neq 0$ så existerar den inversa matrisen $A^{-1}$. Om du multiplicerar ekvationen $AX = B$ med $A^{-1}$ från vänster så får du ekvationen $\displaystyle A^{-1}AX=A^{-1}B$. Eftersom $A^{-1}A = E$, där $E$ betecknar enhetsmatrisen av typ $2\times 2$, så har du ekvationen $EX = A^{-1}B$. Men eftersom $EX = X$ så har du fått resultatet

    $\displaystyle X = A^{-1}B$.

Albiki

Hej!

För en matris av typ $2\times 2$ finns det en enkel formel för den inversa matrisen.

    $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}3 & -6\\2 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2\\\frac{2}{3} & -1\end{pmatrix}$.

Albiki

Hej!

Med den kända inversa matrisen får man den sökta lösningen till matrisekvationen $AX = B$.

    $\displaystyle X = A^{-1}B = \begin{pmatrix}1 & -2\\\frac{2}{3} & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5 & -1\\2 & -4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 7\\\frac{4}{3} & \frac{10}{3}\end{pmatrix}$.

Albiki

Hej!

Matrisekvationen $AX = X + AB$ är samma sak som matrisekvationen $AX = EX + AB$, där $E$ betecknar enhetsmatrisen av typ $2\times 2$. Denna ekvation kan i sin tur skrivas

    $\displaystyle AX - EX = AB$.

Om du bryter ut matrisen $X$ åt höger (ordningen är mycket viktig) så kan du skriva ekvationen såhär.

    $\displaystyle (A-E)X = AB.$

Om determinanten $\det(A-E) \neq 0$ så är matrisen $A-E$ inverterbar. Då kan du multiplicera ekvationen med den inversa matrisen $(A-E)^{-1}$ från vänster för att få ekvationen $(A-E)^{-1}(A-E)X = (A-E)^{-1}AB$, vilket är samma sak som ekvationen $EX = (A-E)^{-1}AB$. Eftersom $E$ är enhetsmatrisen så är matrisen $EX = X$, vilket ger dig lösningen till den ursprungliga matrisekvationen.

    $\displaystyle X = (A-E)^{-1}AB.$

Albiki