Linjär algebra

Du vill alltså bevisa att $[AB]_\beta=[A]_\beta[B]_\beta$ (den där stjärnan i ditt inlägg antar jag betyder matrismultiplikation?)

Det gäller ju att:

$AB=AIB$

där $I$ är identitetsmatrisen. Vi kan sedan byta ut $I$ mot $T^{-1}T$ där $T$ är basbytesmatrisen $\beta\to E$:

$AB=AT^{-1}TB$

Vänstermultiplikation med $T$ och högermultiplikation med $T^{-1}$ i båda led ger nu:

$TABT^{-1}=TAT^{-1}TBT^{-1}$

Eftersom $TPT^{-1}=[P]_\beta$ för en matris $P$ får vi:

$\underbrace{TABT^{-1}}_{=[AB]_\beta}=\underbrace{TAT^{-1}}_{=[A]_\beta}\underbrace{TBT^{-1}}_{=[B]_\beta}$

$[AB]_\beta=[A]_\beta[B]_\beta$

vilket vi ville visa.

AlvinB skrev:

Du vill alltså bevisa att $[AB]_\beta=[A]_\beta[B]_\beta$ (den där stjärnan i ditt inlägg antar jag betyder matrismultiplikation?)

Det gäller ju att:

$AB=AIB$

där $I$ är identitetsmatrisen. Vi kan sedan byta ut $I$ mot $T^{-1}T$ där $T$ är basbytesmatrisen $\beta\to E$:

$AB=AT^{-1}TB$

Vänstermultiplikation med $T$ och högermultiplikation med $T^{-1}$ i båda led ger nu:

$TABT^{-1}=TAT^{-1}TBT^{-1}$

Eftersom $TPT^{-1}=[P]_\beta$ för en matris $P$ får vi:

$\underbrace{TABT^{-1}}_{=[AB]_\beta}=\underbrace{TAT^{-1}}_{=[A]_\beta}\underbrace{TBT^{-1}}_{=[B]_\beta}$

$[AB]_\beta=[A]_\beta[B]_\beta$

vilket vi ville visa.

Hur vet du att TPT^-1= ${\left[P\right]}_{\beta }$? Är det inte $T^{-1}·P={\left[P\right]}_{\beta }$?

Du får ju tänka på att $P$ är en matris som utför transformationen i standardbasen.

Du måste då först omvandla från basen $\beta$ till standardbasen. Detta gör du med $T$.

Sedan utför du transformationen med matrisen $P$. Då blir svaret i standardbasen, men du vill ju ha svaret i basen $\beta$. Därför måste du omvandla från standardbasen till $\beta$. Detta gör du med $T^{-1}$.

Observera att du även lika gärna kan definiera $T$ att vara $E\to\beta$. Enda skillnaden blir då att $T$ och $T^{-1}$ byter plats.