Linjär algebra (Matematik/Universitet)

Hur långt har du kommit? Hur tänker du?

Jag har försöket att lösa det men det funka inte, jag har två samma problem !

Markos96 skrev:
Jag har försöket att lösa det men det funka inte, jag har två samma problem !

Vi brukar bara ta ett problem per tråd.

Har du räknat ut hörnen i triangeln?

okej!

Om du kan hjälpa mej med den andra ! Om du kan det!

PATENTERAMERA skrev:
Har du räknat ut hörnen i triangeln?

Nej faktiskt !

Spegelbild i ett plan brukar kunna lösas med projektion. Har du testat det?

dr_lund skrev:
Spegelbild i ett plan brukar kunna lösas med projektion. Har du testat det?

Jag är inte säker om det är just den man ska använda projektionsformel och det finns inte lika exempel i boken

Kan du dela upp vektorn $\vec{O P}$ i en komposant som är parallell med planet och en komposant som är vinkelrät mot planet?

PATENTERAMERA skrev:

Kan du dela upp vektorn $\vec{O P}$ i en komposant som är parallell med planet och en komposant som är vinkelrät mot planet?

Hur ska vi göra det, hoppas att FU förklara till mig i detalj !

Markos96 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Kan du dela upp vektorn $\vec{O P}$ i en komposant som är parallell med planet och en komposant som är vinkelrät mot planet?
Hur ska vi göra det, hoppas att FU förklara till mig i detalj !

Först behöver vi bestämma en normalvektor $\vec{n}$ till planet. Hur gör vi det? Hur bestämmer vi en sådan vektor från planets ekvation?

Tänkte visa något väldigt basic som kanske får det att lossna lite.

Det är inte världens finaste bild men det får duga.

En linje i R3 (dvs 3D) kan beskrivas av en godtycklig punkt $P_{0}$ på linjen, och en vektor i linjens utbredningsriktning. Alla punkter P på linjen kan då beskrivas som

$P = P_{0} + V * t$

I figuren är $P_{0}$ benämnd P. Alla punkter P ligger då på den röda linjen. I praktiken är det här ett polygontåg. En punkt $P_{0}$ är även vektorn till den punkten $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$ . Beskrivningen av en linje är alltså "Gå till en punkt på linjen, följ sedan linjens riktning i t steg för att komma till en specifik punkt på linjen".

En av punkterna $P_{R}$ ligger i planet (rektangeln). På andra sidan planet ligger en spegelpunkt S, dvs den är lika långt från planet som $P_{0}$ fast på andra sidan.

Hur räknar man då längd? Jo vektorn V har ju en längd, som skalas med faktorn t. Man kan säga att t avgör hur långt man gått längs med linjen.

Vi behöver inte räkna ut avståndet. Vi behöver bara inse att om vi behöver gå V* $t_{p l a n}$ för att nå planet, så behöver vi gå dubbelt så långt för att nå spegelpunkten.

När denna generella beskrivning av en linje har satt sig, finns det någon linje mellan två punkter vi är intresserade av, och vilken vektor har denna linje?

Stakethinder skrev:
Tänkte visa något väldigt basic som kanske får det att lossna lite.
Det är inte världens finaste bild men det får duga.
En linje i R3 (dvs 3D) kan beskrivas av en godtycklig punkt $P_{0}$ på linjen, och en vektor i linjens utbredningsriktning. Alla punkter P på linjen kan då beskrivas som
$P = P_{0} + V * t$
I figuren är $P_{0}$ benämnd P. Alla punkter P ligger då på den röda linjen.
En av punkterna $P_{R}$ ligger i planet (rektangeln). På andra sidan planet ligger en spegelpunkt S, dvs den är lika långt från planet som $P_{0}$ fast på andra sidan.
Hur räknar man då längd? Jo vektorn V har ju en längd, som skalas med faktorn t. Man kan säga att t avgör hur långt man gått längs med linjen.
Vi behöver inte räkna ut avståndet. Vi behöver bara inse att om vi behöver gå V* $t_{p l a n}$ för att nå planet, så behöver vi gå dubbelt så långt för att nå spegelpunkten.

Här skall du förstås välja vektorn V så att den är vinkelrät mot planet, dvs parallell med planets normal.

PATENTERAMERA skrev:
Markos96 skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Kan du dela upp vektorn $\vec{O P}$ i en komposant som är parallell med planet och en komposant som är vinkelrät mot planet?
Hur ska vi göra det, hoppas att FU förklara till mig i detalj !
Först behöver vi bestämma en normalvektor $\vec{n}$ till planet. Hur gör vi det? Hur bestämmer vi en sådan vektor från planets ekvation?

Vi kan uppdela vektorn $\vec{O P}$ i komposanter

$\vec{O P} = \vec{p} + \vec{v}$ , där

$\vec{p}$ är parallell med planet och $\vec{v}$ är vinkelrät mot planet.

Om $P^{*}$ är den sökta spegelpunkten, så inses med eller utan eftertanke (rita figur) att

$\vec{O P^{*}} = \vec{p} - \vec{v}$ , vilket även kan skrivas som

$\vec{O P^{*}} = \vec{O P} - 2 \vec{v}$ .

Det är inte svårt att visa att

$\vec{v} = \frac{(\vec{O P} ∙ \vec{n}) \vec{n}}{{|\vec{n}|}^{2}}$ , där punkten indikerar skalärprodukten (dot product) och $\vec{n}$ är en normalvektor till planet.

Jag antar att du vet hur man räknar ut var planet skär y-axeln; låt den punkten vara B och kalla den i problemet givna punkten A.

Inför nu

$\vec{a} = \vec{P^{*} A}$ , och

$\vec{b} = \vec{P^{*} B}$ .

Baserat på en från gymnasiet känd formel för en triangels area T får vi

T = $\frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin α$ , där $α$ är vinkeln mellan $\vec{a}$ och $\vec{b}$ .

T² = $\frac{1}{4} {|\vec{a}|}^{2} {|\vec{b}|}^{2} \sin^{2} α = \frac{1}{4} {|\vec{a}|}^{2} {|\vec{b}|}^{2} (1 - \cos^{2} α) = \frac{1}{4} ({|\vec{a}|}^{2} {|\vec{b}|}^{2} - {(\vec{a} ∙ \vec{b})}^{2})$ , eller

T = $\frac{1}{2} \sqrt[]{{|\vec{a}|}^{2} {|\vec{b}|}^{2} - {(\vec{a} ∙ \vec{b})}^{2}}$ .

Du borde komma vidare själv nu.

Det föregående inlägg beskriver, är inget annat än projektion, vilket jag också svarade dig tidigare.

Men du var inte bekant med projektion, vad jag förstår.

Det är i mitt tycke det bästa angreppssättet vid komposantuppdelning av det slag som problemet beskriver.

Hej killar.

Nu var det ett tag sedan jag läste Linjär Algebra. Men vad jag ser så fungerar det här enbart för att planet skär origo. Då tänker jag på följande samband:

$\underset{O P *}{\to} = \underset{p}{\to} - \underset{v}{\to}$

Det är ju helt rätt, men det blir en spegling i Origo i planets normalriktning. Om t ex P ligger 10 le från origo och planet ligger 10^6 le från origo så är det ganska trivialt att inse att P* ligger väldigt långt bort. Så det fungerar bara om planet skär origo. Nu råkar det göra det i den här uppgiften, men det känns som ett specialfall snarare än en generell lösning.

Snyggt med detaljen hur man räknar ut triangelns area!

Stakethinder skrev:
Hej killar.
Nu var det ett tag sedan jag läste Linjär Algebra. Men vad jag ser så fungerar det här enbart för att planet skär origo. Då tänker jag på följande samband:
$\underset{O P *}{\to} = \underset{p}{\to} - \underset{v}{\to}$
Det är ju helt rätt, men det blir en spegling i Origo i planets normalriktning. Om t ex P ligger 10 le från origo och planet ligger 10^6 le från origo så är det ganska trivialt att inse att P* ligger väldigt långt bort. Så det fungerar bara om planet skär origo. Nu råkar det göra det i den här uppgiften, men det känns som ett specialfall snarare än en generell lösning.

Snyggt med detaljen hur man räknar ut triangelns area!

Om origo inte ligger i planet så ersätter man bara O med O´i formeln, där O´är en punkt i planet.

Ok, så då behöver man hitta en punkt i planet och sedan definierar man

$\underset{O ´ P}{\to} = \underset{p}{\to} + \underset{v}{\to}$ ,

räknar ut $\underset{v}{\to}$

Konstaterar att $\underset{O ´ P *}{\to} = \underset{O' P}{\to} - 2 \underset{v}{\to}$

och sedan räkna ut $\underset{O P *}{\to} = \underset{O O'}{\to} + \underset{O' P *}{\to}$

så har man pegelpunkten P*.

Jo, det verkar ju funka. Verkar omständligt och förvirrande. Men whatever floats your boat.

Stakethinder skrev:
Ok, så då behöver man hitta en punkt i planet och sedan definierar man
$\underset{O ´ P}{\to} = \underset{p}{\to} + \underset{v}{\to}$ ,
räknar ut $\underset{v}{\to}$
Konstaterar att $\underset{O ´ P *}{\to} = \underset{O' P}{\to} - 2 \underset{v}{\to}$
och sedan räkna ut $\underset{O P *}{\to} = \underset{O O'}{\to} + \underset{O' P *}{\to}$
så har man pegelpunkten P*.

Jo, det verkar ju funka. Verkar omständligt och förvirrande. Men whatever floats your boat.

Om planets ekvation är

$\vec{r} ∙ \vec{n} = c$ , så kan vi välja

$\vec{O O ´} = \frac{c \vec{n}}{{|\vec{n}|}^{2}}$ .

Känns som du utelämnade ca en halv lärobok där.

Jag utgår från att $\vec{n}$ är en normalvektor till planet och $\vec{r}$ är en godtycklig vektor i planet. Stämmer att deras kryssprodukt då hamnar i planet, men det är kanske inte trivialt för nybörjaren.

Sen blir det konstigt. Du motiverar inte dina resonemang vilket gör dem svåra att följa.

$\frac{c \vec{n}}{|\vec{n^{2}}|}$ är ju $\vec{n}$ multiplicerat med en skalär.

Så det du gjort är att när du väljer en punkt O' som ligger i planet så har du valt den punkt som om man går i normalens riktning hamnar i origo.

Är inte det lättare att åstadkomma med ansatsen $k * \vec{n} = π$ ? Och mer tydligt vad det är man gör?

Särskilt som det inte är trivialt att hitta c.

Kan ju visa hur jag hade angripit spegelpunkten också.

$π : x - z = 0 P l a n e t P : (7, 12, 9) P u n k t e n$

Vi definierar en linje som går genom punkten och som har utbredningsriktning parallellt med planets normal.

$L = P + \vec{n} * t$

Om ett plan har ekvationen

$a X + b Y + c Z = d$

så är vektorn $(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ en normal till det planet.

$L = (\begin{matrix} 7 \\ 12 \\ 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) * t$

För ett givet $t = t_{p}$ skär linjen planet. För ett annat $t = t_{s}$ skär linjen Spegelpunkten. Jag kallar den S, andra inlägg kallar den P*.

Avstånd från P till planets skärning är $|\vec{n}| * t$ längdenheter, le. Avståndet från planet till spegelpunkten är givetvis lika långt, fast på andra sidan planet. Alltså når vi Spegelpunkten när vi gått dubbelt så långt som vi behöver gå för att nå planet från P.

$t_{s} = 2 t_{p}$

Vi gör räkningarna! Börja med att identifiera $t_{p}$ .

$(\begin{matrix} 7 \\ 12 \\ 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) * t_{p} s k a u p p f y l l a x - z = 0$ , dvs x=z.

$7 + t_{p} = 9 - t_{p} 2 t_{p} = 2 t_{p} = 1$

Vi utnyttjar detta i det vi redan resonerat oss fram till.

$S = L (t_{s}) = (\begin{matrix} 7 \\ 12 \\ 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}) * t_{s} = / t_{s} = 2 t_{p} = 2 * 1 / = (\begin{matrix} 7 \\ 12 \\ 9 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 9 \\ 12 \\ 7 \end{matrix})$

Vi har nu två av tre hörn:

$H_{1} : (1, 2, 3) (g i v e t) H_{2} : (9, 12, 7) (s p e g e l p u n k t) H_{3} : ? ? ? (s k ä r n i n g π o c h g i v e n l i n j e)$

I framtagandet av spegelpunkten visade jag hur man hittar det $t_{p}$ som ger skärning mellan det planet och den linjen. Återanvänd den kunskapen för att hitta det tredje hörnet.

Stakethinder skrev:
Känns som du utelämnade ca en halv lärobok där.
Jag utgår från att $\vec{n}$ är en normalvektor till planet och $\vec{r}$ är en godtycklig vektor i planet. Stämmer att deras kryssprodukt då hamnar i planet, men det är kanske inte trivialt för nybörjaren.

Sen blir det konstigt. Du motiverar inte dina resonemang vilket gör dem svåra att följa.
$\frac{c \vec{n}}{|\vec{n^{2}}|}$ är ju $\vec{n}$ multiplicerat med en skalär.
Så det du gjort är att när du väljer en punkt O' som ligger i planet så har du valt den punkt som om man går i normalens riktning hamnar i origo.
Är inte det lättare att åstadkomma med ansatsen $k * \vec{n} = π$ ? Och mer tydligt vad det är man gör?
Särskilt som det inte är trivialt att hitta c.

c får du ju från planets ekvation. Det är en given kvantitet. Hur mera trivialt kan det bli?

Det var inte menat som en fullständig härledning, bara en anvisning om ett sätt att välja punkten i planet.

PATENTERAMERA skrev:
Stakethinder skrev:
Känns som du utelämnade ca en halv lärobok där.
Jag utgår från att $\vec{n}$ är en normalvektor till planet och $\vec{r}$ är en godtycklig vektor i planet. Stämmer att deras kryssprodukt då hamnar i planet, men det är kanske inte trivialt för nybörjaren.

Sen blir det konstigt. Du motiverar inte dina resonemang vilket gör dem svåra att följa.
$\frac{c \vec{n}}{|\vec{n^{2}}|}$ är ju $\vec{n}$ multiplicerat med en skalär.
Så det du gjort är att när du väljer en punkt O' som ligger i planet så har du valt den punkt som om man går i normalens riktning hamnar i origo.
Är inte det lättare att åstadkomma med ansatsen $k * \vec{n} = π$ ? Och mer tydligt vad det är man gör?
Särskilt som det inte är trivialt att hitta c.
c får du ju från planets ekvation. Det är en given kvantitet. Hur mera trivialt kan det bli?

Du inser att du ännu inte definierat varken $\vec{r} e l l e r \vec{n}$ ? Och att olika vektorer resulterar i olika c?

Stakethinder skrev:
PATENTERAMERA skrev:
Stakethinder skrev:
Känns som du utelämnade ca en halv lärobok där.
Jag utgår från att $\vec{n}$ är en normalvektor till planet och $\vec{r}$ är en godtycklig vektor i planet. Stämmer att deras kryssprodukt då hamnar i planet, men det är kanske inte trivialt för nybörjaren.

Sen blir det konstigt. Du motiverar inte dina resonemang vilket gör dem svåra att följa.
$\frac{c \vec{n}}{|\vec{n^{2}}|}$ är ju $\vec{n}$ multiplicerat med en skalär.
Så det du gjort är att när du väljer en punkt O' som ligger i planet så har du valt den punkt som om man går i normalens riktning hamnar i origo.
Är inte det lättare att åstadkomma med ansatsen $k * \vec{n} = π$ ? Och mer tydligt vad det är man gör?
Särskilt som det inte är trivialt att hitta c.
c får du ju från planets ekvation. Det är en given kvantitet. Hur mera trivialt kan det bli?
Du inser att du ännu inte definierat varken $\vec{r} e l l e r \vec{n}$ ? Och att olika vektorer resulterar i olika c?

Jag utgår från att man känner till standardformen för planets ekvation och att vi har ekvationen given i problemet på det sätt som jag angav.

Tråden gäller ju en universitetskurs i linjär algebra, så jag kanske lägger mig på lite högre abstraktionsnivå än om det hade varit ett gymnasieproblem.

Gör inte det. Linjär Algebra är i regel en av de första kurserna man läser på universitetsnivå, och språket kan vara en duktig kalldusch.

Och uppgiften är ju kopierad rakt av. Det är en bild av uppgiften, inte en avskrift.

Oavsett, gå gärna in i detalj på hur du härleder ditt $c = \vec{r} ∙ \vec{n}$ .

Att utgå från att det är känt att kryssprodukten av två vektorer blir en vektor vinkelrät mot de två vektorerna känns rimligt. Att känna till sambandet mellan ett plans ekvation och dess normal är även det något man behöver ha lärt sig. Sen blir det lurigare.

Om $\vec{n}$ är en normalvektor till planet, och vi känner till planets ekvation på formen $α X + β Y + γ Z = ε$ , hur översätter man det till ett c?

Stakethinder skrev:
Gör inte det. Linjär Algebra är i regel en av de första kurserna man läser på universitetsnivå, och språket kan vara en duktig kalldusch.
Och uppgiften är ju kopierad rakt av. Det är en bild av uppgiften, inte en avskrift.

Oavsett, gå gärna in i detalj på hur du härleder ditt $c = \vec{r} ∙ \vec{n}$ .
Att utgå från att det är känt att kryssprodukten av två vektorer blir en vektor vinkelrät mot de två vektorerna känns rimligt. Att känna till sambandet mellan ett plans ekvation och dess normal är även det något man behöver ha lärt sig. Sen blir det lurigare.
Om $\vec{n}$ är en normalvektor till planet, och vi känner till planets ekvation på formen $α X + β Y + γ Z = ε$ , hur översätter man det till ett c?

Jag har aldrig använt någon kryssprodukt, eftersom jag inte var säker på att de hade gått igenom denna än.

Planets ekvation brukar, i de läroböcker jag läst, ges som

$\vec{n} ∙ (\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) = 0,$ där

$\vec{n}$ är en normalvektor till planet (ej noll naturligtvis), $\vec{r}$ är en allmän ortsvektor till en punkt i planet och ${\vec{r}}_{0}$ är ortsvektorn till en given punkt i planet.

Detta kan ju, om man så vill, ses som en definition av vad som menas med ett plan. Dvs planet är alla punkter vars ortsvektorer $\vec{r}$ uppfyller ekvationen. Jag hoppas att detta är något som alla känner igen.

Det är dock vanligt att ge ekvationen på formen

$\vec{n} ∙ \vec{r} = c (= - \vec{n} ∙ {\vec{r}}_{0}), d v s (n_{1}, n_{2}, n_{3}) ∙ (x, y, z) = c, e l l e r n_{1} x + n_{2} y + n_{3} z = c .$

Om vi får ekvationen för planet på denna sista form så kan vi direkt genom inspektion identifiera en normalvektor $\vec{n}$ och (den tillhörande) konstanten c. Vilket var allt som krävdes.

Ok, nu hänger jag med på vad du försöker säga. Tänk på att vara lite mer utförlig i dina svar, det är ohyggligt svårt att hänga med när du utelämnar massa detaljer. Det blir förstås inte lättare av att jag blandar ihop symbolerna.

Den största förvirringen i den här tråden är att du återkommer till ett skrivsätt av planets ekvation som varken återfinns i uppgiften eller som jag sett tidigare.

Alla plan jag sett har skrivits på formen ax+by+cz=d

Till eleven:

Skalärprodukt ger längden* av en vektor projicerad på en annan. Om man projicerar ner en vektor som är vinkelrät mot planet (dvs en normalvektor) på en vektor i planet så får man en punkt. En punkt har längden noll.

Om vi låter $\vec{r} = (x, y, z)$ vara en godtycklig punkt i planet och $\vec{r_{0}} = (u, v, w)$ vara en given punkt i planet så är vektorn dem emellan $\vec{r} - \vec{r_{0}}$ en vektor som ligger i planet.

Sammanfattar vi resonemangen ovan får vi:

$\vec{n} ∙ (\vec{r} - \vec{r_{0}}) = 0$

Vi utvecklar detta. Skalärprodukt beräknas enligt följande: (a, b, c) $∙$ (A , B, C) = a*A + b*B + c*C.

Om vi sätter $\vec{n} = (a, b, c)$ får vi $\vec{n} ∙ (\vec{r} - \vec{r_{0}}) = \vec{n} ∙ \vec{r} - \vec{n} ∙ \vec{r_{0}}$

$\vec{n} ∙ (\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) = (a, b, c) ∙ (x - u, y - v, z - w) = a (x - u) + b (y - v) + c (z - w)$

= ax - au + by -bv + cz - cw = ax+by+cz -au-bv-cz

Men ax+by+cz = (a, b, c) $∙$ (x, y, z). Dvs $\vec{n} ∙ \vec{r}$

Och -au-bv-cz = -(a, b, c) $∙$ (u, v, w). Dvs - $\vec{n} ∙ \vec{r_{0}}$

Vi har därmed visat att

$\vec{n} ∙ (\vec{r} - \vec{r_{0}}) = 0 \Rightarrow \vec{n} ∙ \vec{r} - \vec{n} ∙ \vec{r_{0}} = 0$

Då $\vec{n}$ och $\vec{r_{0}}$ är konstanter får vi

$\vec{n} ∙ \vec{r} = c o n s \tan t$

Vilket kan skrivas som

ax+by+cz = constant

*: Skalärprodukt kan bli negativ. Det betyder att projiceringen har utbredningsriktning motsatt det man projicerat på.

Stakethinder skrev:
Ok, nu hänger jag med på vad du försöker säga. Tänk på att vara lite mer utförlig i dina svar, det är ohyggligt svårt att hänga med när du utelämnar massa detaljer. Det blir förstås inte lättare av att jag blandar ihop symbolerna.
Den största förvirringen i den här tråden är att du återkommer till ett skrivsätt av planets ekvation som varken återfinns i uppgiften eller som jag sett tidigare.

Alla plan jag sett har skrivits på formen ax+by+cz=d

Till eleven:
Skalärprodukt ger längden* av en vektor projicerad på en annan. Om man projicerar ner en vektor som är vinkelrät mot planet (dvs en normalvektor) på en vektor i planet så får man en punkt. En punkt har längden noll.
Om vi låter $\vec{r} = (x, y, z)$ vara en godtycklig punkt i planet och $\vec{r_{0}} = (u, v, w)$ vara en given punkt i planet så är vektorn dem emellan $\vec{r} - \vec{r_{0}}$ en vektor som ligger i planet.
Sammanfattar vi resonemangen ovan får vi:
$\vec{n} ∙ (\vec{r} - \vec{r_{0}}) = 0$

Vi utvecklar detta. Skalärprodukt beräknas enligt följande: (a, b, c) $∙$ (A , B, C) = a*A + b*B + c*C.
Om vi sätter $\vec{n} = (a, b, c)$ får vi $\vec{n} ∙ (\vec{r} - \vec{r_{0}}) = \vec{n} ∙ \vec{r} - \vec{n} ∙ \vec{r_{0}}$
$\vec{n} ∙ (\vec{r} - {\vec{r}}_{0}) = (a, b, c) ∙ (x - u, y - v, z - w) = a (x - u) + b (y - v) + c (z - w)$
= ax - au + by -bv + cz - cw = ax+by+cz -au-bv-cz
Men ax+by+cz = (a, b, c) $∙$ (x, y, z). Dvs $\vec{n} ∙ \vec{r}$
Och -au-bv-cz = -(a, b, c) $∙$ (u, v, w). Dvs - $\vec{n} ∙ \vec{r_{0}}$
Vi har därmed visat att
$\vec{n} ∙ (\vec{r} - \vec{r_{0}}) = 0 \Rightarrow \vec{n} ∙ \vec{r} - \vec{n} ∙ \vec{r_{0}} = 0$
Då $\vec{n}$ och $\vec{r_{0}}$ är konstanter får vi
$\vec{n} ∙ \vec{r} = c o n s \tan t$
Vilket kan skrivas som
ax+by+cz = constant

*: Skalärprodukt kan bli negativ. Det betyder att projiceringen har utbredningsriktning motsatt det man projicerat på.

Det är ju alltid svårt att vet vilka förkunskaper som studenterna har. Man måste ju göra en gissning, ibland blir det fel.

Mer om plan i tre dimensioner finns här:

https://brilliant.org/wiki/3d-coordinate-geometry-equation-of-a-plane/