Linjär Algebra 2 Skalärprodukt och ortogonala komplement

Nide skrev :

Uppgiften lyder:

Betrakta det reella vektorrummet ${\mathrm{ℝ}}^2$ samt funktionen $\left(. , .\right): {\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$ given av
(X,Y)= $4x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$, för alla $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$.

Visa att denna funktion är en skalärprodukt. Bestäm sedan en ortonormal (relativt skalärprodukten ovan) bas för ortogonala komplementet $U^{\perp }$ till delrummet

$U=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Jag vet inte direkt hur jag ska börja här med första delen (jag fattar inte hur jag ska bevisa att funktionen är en skalärprodukt... har alltid varit dålig på bevis). Jag tror dock att jag förstår vissa delar av den andra delen av uppgiften (lösningen jag kommit på är dock för enkel så det är säkert fel). Så som jag förstått den andra delen av uppgiften så ska man bara lösa ekvationen  (var man utgår från den givna skalärprodukten/funktionen ovan och x är vektorn i $U^{\perp }= span\left\{x\right\}$). Eftersom att x här är den enda vektorn så blir väl den automatiskt en bas? Sedan ska man bara normera x och så är man klar... eller?

En skalärprodukt <.,.> uppfyller 4 saker. 

<x,y>=<y,x> för alla vektorer x,y (vi behöver inte bekymmra oss om komplexvärde vektorer än).

<ax,y> = a*<x,y> för alla skalärer a

<x,x> >= 0 och <x,x> =0 <> x = 0. Uppfyller din funktion de här fyra villkoren?

pethaf skrev :

Nide skrev :

Uppgiften lyder:

Betrakta det reella vektorrummet ${\mathrm{ℝ}}^2$ samt funktionen $\left(. , .\right): {\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$ given av
(X,Y)= $4x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$, för alla $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$.

Visa att denna funktion är en skalärprodukt. Bestäm sedan en ortonormal (relativt skalärprodukten ovan) bas för ortogonala komplementet $U^{\perp }$ till delrummet

$U=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Jag vet inte direkt hur jag ska börja här med första delen (jag fattar inte hur jag ska bevisa att funktionen är en skalärprodukt... har alltid varit dålig på bevis). Jag tror dock att jag förstår vissa delar av den andra delen av uppgiften (lösningen jag kommit på är dock för enkel så det är säkert fel). Så som jag förstått den andra delen av uppgiften så ska man bara lösa ekvationen  (var man utgår från den givna skalärprodukten/funktionen ovan och x är vektorn i $U^{\perp }= span\left\{x\right\}$). Eftersom att x här är den enda vektorn så blir väl den automatiskt en bas? Sedan ska man bara normera x och så är man klar... eller?

En skalärprodukt <.,.> uppfyller 4 saker. 

<x,y>=<y,x> för alla vektorer x,y (vi behöver inte bekymmra oss om komplexvärde vektorer än).

<ax,y> = a*<x,y> för alla skalärer a

<x,x> >= 0 och <x,x> =0 <> x = 0. Uppfyller din funktion de här fyra villkoren?

Har jag dock tänkt rätt på andra delen av uppgiften?

Nide skrev :

pethaf skrev :

Visa föregående citat

Nide skrev :

Uppgiften lyder:

Betrakta det reella vektorrummet ${\mathrm{ℝ}}^2$ samt funktionen $\left(. , .\right): {\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$ given av
(X,Y)= $4x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$, för alla $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$.

Visa att denna funktion är en skalärprodukt. Bestäm sedan en ortonormal (relativt skalärprodukten ovan) bas för ortogonala komplementet $U^{\perp }$ till delrummet

$U=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Jag vet inte direkt hur jag ska börja här med första delen (jag fattar inte hur jag ska bevisa att funktionen är en skalärprodukt... har alltid varit dålig på bevis). Jag tror dock att jag förstår vissa delar av den andra delen av uppgiften (lösningen jag kommit på är dock för enkel så det är säkert fel). Så som jag förstått den andra delen av uppgiften så ska man bara lösa ekvationen  (var man utgår från den givna skalärprodukten/funktionen ovan och x är vektorn i $U^{\perp }= span\left\{x\right\}$). Eftersom att x här är den enda vektorn så blir väl den automatiskt en bas? Sedan ska man bara normera x och så är man klar... eller?

En skalärprodukt <.,.> uppfyller 4 saker. 

<x,y>=<y,x> för alla vektorer x,y (vi behöver inte bekymmra oss om komplexvärde vektorer än).

<ax,y> = a*<x,y> för alla skalärer a

<x,x> >= 0 och <x,x> =0 <> x = 0. Uppfyller din funktion de här fyra villkoren?

Har jag dock tänkt rätt på andra delen av uppgiften?

Ja, det borde väl vara så. $U^{\perp }$ är rummet av alla vektorer som är ortogonala mot (-1,2)^t 

pethaf skrev :

Nide skrev :

Visa föregående citat

pethaf skrev :

Nide skrev :

Uppgiften lyder:

Betrakta det reella vektorrummet ${\mathrm{ℝ}}^2$ samt funktionen $\left(. , .\right): {\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$ given av
(X,Y)= $4x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$, för alla $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$.

Visa att denna funktion är en skalärprodukt. Bestäm sedan en ortonormal (relativt skalärprodukten ovan) bas för ortogonala komplementet $U^{\perp }$ till delrummet

$U=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Jag vet inte direkt hur jag ska börja här med första delen (jag fattar inte hur jag ska bevisa att funktionen är en skalärprodukt... har alltid varit dålig på bevis). Jag tror dock att jag förstår vissa delar av den andra delen av uppgiften (lösningen jag kommit på är dock för enkel så det är säkert fel). Så som jag förstått den andra delen av uppgiften så ska man bara lösa ekvationen  (var man utgår från den givna skalärprodukten/funktionen ovan och x är vektorn i $U^{\perp }= span\left\{x\right\}$). Eftersom att x här är den enda vektorn så blir väl den automatiskt en bas? Sedan ska man bara normera x och så är man klar... eller?

En skalärprodukt <.,.> uppfyller 4 saker. 

<x,y>=<y,x> för alla vektorer x,y (vi behöver inte bekymmra oss om komplexvärde vektorer än).

<ax,y> = a*<x,y> för alla skalärer a

<x,x> >= 0 och <x,x> =0 <> x = 0. Uppfyller din funktion de här fyra villkoren?

Har jag dock tänkt rätt på andra delen av uppgiften?

Ja, det borde väl vara så. $U^{\perp }$ är rummet av alla vektorer som är ortogonala mot (-1,2)^t 

Nu har jag råkat fastna. Jag försöker räkna ut  och får då enligt skalärprodukten ovan att $6x-9y=0$. Eftersom att jag bara har 1 vektor i U så kan jag inte få fram ett ekvationssystem för att få fram $U^{\perp }$. Vad gör jag nu?

Nide skrev :

pethaf skrev :

Visa föregående citat

Nide skrev :

pethaf skrev :

Visa föregående citat

Nide skrev :

Uppgiften lyder:

Betrakta det reella vektorrummet ${\mathrm{ℝ}}^2$ samt funktionen $\left(. , .\right): {\mathrm{ℝ}}^2\to \mathrm{ℝ}$ given av
(X,Y)= $4x_1{y}_1-x_1{y}_2-x_2{y}_1+4x_2{y}_2$, för alla $X=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right), Y=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$.

Visa att denna funktion är en skalärprodukt. Bestäm sedan en ortonormal (relativt skalärprodukten ovan) bas för ortogonala komplementet $U^{\perp }$ till delrummet

$U=span\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)\right\}\subset {\mathrm{ℝ}}^2$.

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Jag vet inte direkt hur jag ska börja här med första delen (jag fattar inte hur jag ska bevisa att funktionen är en skalärprodukt... har alltid varit dålig på bevis). Jag tror dock att jag förstår vissa delar av den andra delen av uppgiften (lösningen jag kommit på är dock för enkel så det är säkert fel). Så som jag förstått den andra delen av uppgiften så ska man bara lösa ekvationen  (var man utgår från den givna skalärprodukten/funktionen ovan och x är vektorn i $U^{\perp }= span\left\{x\right\}$). Eftersom att x här är den enda vektorn så blir väl den automatiskt en bas? Sedan ska man bara normera x och så är man klar... eller?

En skalärprodukt <.,.> uppfyller 4 saker. 

<x,y>=<y,x> för alla vektorer x,y (vi behöver inte bekymmra oss om komplexvärde vektorer än).

<ax,y> = a*<x,y> för alla skalärer a

<x,x> >= 0 och <x,x> =0 <> x = 0. Uppfyller din funktion de här fyra villkoren?

Har jag dock tänkt rätt på andra delen av uppgiften?

Ja, det borde väl vara så. $U^{\perp }$ är rummet av alla vektorer som är ortogonala mot (-1,2)^t 

Nu har jag råkat fastna. Jag försöker räkna ut  och får då enligt skalärprodukten ovan att $6x-9y=0$. Eftersom att jag bara har 1 vektor i U så kan jag inte få fram ett ekvationssystem för att få fram $U^{\perp }$. Vad gör jag nu?

Ifall du är säker på att du har räknat rätt så är nästa steg att parameterisera t.ex. sätta x=t.