Linjär algebra

Har du ritat en figur? Rita ut vektorerna u och v (du kan låta dem börja i origo) i ett koordinatsystem.

Betyder 2 två grader eller två radianer? I alla fall är lösningen mycket enklare. Rita upp en enhetscirkel och vektorerna u och v så ser du att vinkeln mellan dom är 1 (grader eller radianer, vilket det nu är.

Hur ska jag "se" det, finns det något bra program att rita upp det i? Geobra?

Du kan t.ex rita upp det i Geogebra eller på wolframalpha.com.

Är du med på att både u och v ligger på enhetscirkeln?

Vinkeln till positiv axel är 2 för u och 3 för v, så skillnaden blir 1.

Hej Hyperspacer!

Skalärprodukten $v\cdot u$ är ett tal som talar om hur stor vinkeln ($\theta$) är mellan vektorerna $u$ och $v$. Den beräknas som

    $\displaystyle v \cdot u = |v|\,|u|\cos \theta\ ,$

där $|v|$ betecknar längden hos vektorn $v$.

Vektorerna $v = (\cos 3, \sin 3)$ och $u = (\cos 2, \sin 2)$  har båda längden 1 (enligt Trigonometriska ettan) så cosinus-värdet för vinkeln mellan dem är lika med skalärprodukten $v\cdot u$.

Skalärprodukten kan också beräknas med hjälp av vektorernas komponenter så här.

$\displaystyle (\cos 3,\sin 3)\cdot(\cos 2,\sin 2) = \cos 3\cos 2 + \sin 3\sin 2.$

Du vet att $\cos\theta = \cos 3\cos 2 + \sin 3\sin 2$, men hur stor är vinkeln $\theta$?

En additionsformel för cosinus-funktionen säger att om $\alpha$ och $\beta$ är två vinklar så är cosinus-värdet för vinkeln ($\alpha-\beta$) lika med följande tal.

    $\displaystyle \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

För dig är $\alpha = 3$ och $\beta = 2$, så additionsformeln visar att du kan skriva

    $\displaystyle \cos 3\cos 2 + \sin 3\sin 2 = \cos (3-2) = \cos 1$.

Alltså gäller det att $\cos \theta = \cos 1$. Eftersom vinkeln mellan vektorerna $u$ och $v$ ligger i intervallet $(0,\pi)$ så kan man säga att om $\cos\theta = \cos 1$ så måste det gälla att $\theta = 1$. Vinkeln mellan vektorerna är alltså lika med $1$.

Albiki

Albiki skrev :

Hej Hyperspacer!

Skalärprodukten $v\cdot u$ är ett tal som talar om hur stor vinkeln ($\theta$) är mellan vektorerna $u$ och $v$. Den beräknas som

    $\displaystyle v \cdot u = |v|\,|u|\cos \theta\ ,$

där $|v|$ betecknar längden hos vektorn $v$.

Vektorerna $v = (\cos 3, \sin 3)$ och $u = (\cos 2, \sin 2)$  har båda längden 1 (enligt Trigonometriska ettan) så cosinus-värdet för vinkeln mellan dem är lika med skalärprodukten $v\cdot u$.

Skalärprodukten kan också beräknas med hjälp av vektorernas komponenter så här.

$\displaystyle (\cos 3,\sin 3)\cdot(\cos 2,\sin 2) = \cos 3\cos 2 + \sin 3\sin 2.$

Du vet att $\cos\theta = \cos 3\cos 2 + \sin 3\sin 2$, men hur stor är vinkeln $\theta$?

En additionsformel för cosinus-funktionen säger att om $\alpha$ och $\beta$ är två vinklar så är cosinus-värdet för vinkeln ($\alpha-\beta$) lika med följande tal.

    $\displaystyle \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$.

För dig är $\alpha = 3$ och $\beta = 2$, så additionsformeln visar att du kan skriva

    $\displaystyle \cos 3\cos 2 + \sin 3\sin 2 = \cos (3-2) = \cos 1$.

Alltså gäller det att $\cos \theta = \cos 1$. Eftersom vinkeln mellan vektorerna $u$ och $v$ ligger i intervallet $(0,\pi)$ så kan man säga att om $\cos\theta = \cos 1$ så måste det gälla att $\theta = 1$. Vinkeln mellan vektorerna är alltså lika med $1$.

Albiki

 

 Får tacka för en alldeles utomordentlig beskrivning av metoden, det är ju ingen "svår" matte när man vet hur man ska göra. Men det var en jättebra beskrivning och jag lärde mig en läxa!

Hej Hyperspacer!

Det var roligt att höra. Jag hoppas att andra läsare också får nytta av materialet.

Albiki