Linjär Algebra

Nyckeln till de två andra egenvektorerna/-värdena (de är inte fler än tre totalt, eftersom antalet egenvärden aldrig är fler än avbildningens dimension) är att du har två vektorer x och y med F(x)=y, F(y)=x. Kan du kombinera x och y på något sätt för att få fram en egenvektor (eller två)?

 Måste säga att jag tyvärr inte förstår vad du menar.. :( 

Är du med på vad en egenvektor är?

Det står "vektorerna (1,0,1) och (-1,0,1) är bilder av varandra", dvs F((1,0,1))=(-1,0,1) och F((-1,0,1))=(1,0,1). Dessutom vet du att F((1,1,1))=2(1,1,1).

Nu vill du hitta de övriga egenvektorer till avbildningen F. Om du kallar de två vektorerna som är varandras avbilder för x och y så har du ekvationssystemet F(x)=y, F(y)=x. Eftersom F är en linjär avbildning kan du då också räkna ut bilden av linjärkombinationer av x och y. T.ex. är F(2x+y)=F(2x)+F(y)=2F(x)+F(y)=2y+x (detta är bara ett exempel, och inget du har stor nytta av). Kan du komma på något annat sätt att kombinera ihop x och y, så att du får en egenvektor? 

Jag har det lite kämpigt med egenvektorer, men om jag har förstått vad du menar (tveksamt) så är

$\left\{\begin{array}{l}F(e1 - e3) =\hspace{0.17em}-e1 + e3\\ F(-e1 + e3) = e1 + e3\end{array}\right.$ eller? Jag vet inte heller hur jag skulle gå vidare från detta. 

Hej!

• Att vektorn $v=(1,1,1)$ är en egenvektor till avbildningen $F$ med tillhörande egenvärde $2$ betyder att $F(v) = 2v$.
• Avbildningen $F$ tar vektorn $u=(1,0,1) = (1,0,0)+(0,0,1) = e_1+e_3$ och kopplar ihop den med vektorn $w=(-1,0,1) = (-1,0,0)+(0,0,1) = -e_1+e_3$, det vill säga $F(u)=w$.
• Avbildningen $F$ tar vektorn $w$ och kopplar ihop den med vektorn $u$, det vill säga $F(w) = u$.

Avbildningen $F$ är linjär så det betyder att

    $F(u) = F(e_1+e_3) = F(e_1)+F(e_3) = w$

och

    $F(w) = F(-e_1+e_3) = -F(e_1)+F(e_3) = u.$

• Om du adderar vektorerna $F(u)$ och $F(w)$ så får du vektorn $2F(e_3).$
• Om du subtraherar vektorn $F(w)$ från vektorn $F(u)$ så får du vektorn $2F(e_1).$

    $w+u = F(u)+F(w) = 2F(e_3) \text{ och } w-u=F(u)-F(w) = 2F(e_1).$

Tack så mycket! Då förstår jag hur jag får fram egenvektorerna! :) Du gjorde det väldigt tydligt. Däremot undrar jag hur jag kan få fram avbildningsmatrisen nu? 

Avbilningsmatrisens kolonner är alltid avbildningarna av basvektorerna. $F(e_1)$ och $F(e_3)$ har du redan räknat ut, och $F(e_2)$ kan du få fram genom att subtrahera bilden av övriga basvektorer från $F((1,1,1))$.