Linjär Algebra

Om du börjar med att multiplicera båda led med $-1$ får du ekvationen:

$\lambda^3-2\lambda^2-11\lambda+12=0$

För att lösa denna blir du nog tvungen att försöka gissa en rot och sedan använda polynomdivision för att få reda på resterande egenvärden. Vanligtvis brukar man använda något som heter rationella rotsatsen för att hjälpa till att gissa rötterna, men en av rötterna är mycket enkel att gissa sig fram till i detta fall.

Testa att se om du kan pröva dig fram till en rot:

$0,\pm 1, \pm 2$ o.s.v.

Därefter kan du skriva ekvationen på formen:

$(\lambda -{\lambda }_1)({\lambda }^2+a\lambda +b)=0$

Använd Laplace-expansion längs tredje kolonnen. Då får du att determinanten av din 3x3-matris ges av summan av:

$-1\left|\begin{array}{cc}2.5& -0.5-x\\ -1& -1\end{array}\right|=3+x$ 

$-1\left|\begin{array}{cc}-0.5-x& 2.5\\ -1& -1\end{array}\right|=3+x$

$(3-x)\left|\begin{array}{cc}-0.5-x& 2.5\\ 2.5& -0.5-x\end{array}\right|=(3-x)(x^2+x-6)=(3-x)(3+x)(x-2)$

Nu kan du bryta ut $3+x$ som gemensam faktor och du slipper gissa.

Jag använde bara att $x=\lambda$, så ersätt alla $x$ med $\lambda$. Jag orkade inte hitta dessa i editorn.

Edit: Du får alltså att determinanten ges av summan; alltså $(3+x)+(3+x)+(3+x)(3-x)(x-2)$. Bryt ut $3+x$ så får du lösa ekvationen $(3+x)(2+(3-x)(x-2))=0$, där en uppenbar rot är $x=-3$.(faktor)

Tack så mycket! Att jag inte tänkte på polynomdivision! 

jans skrev:

Tack så mycket! Att jag inte tänkte på polynomdivision! 

Ett välmenat tips: Att inte använda Laplace-expansion fungerar bara om din lärare är väldigt snäll och ger dig heltal som rötter. Mina lektorer gav ofta kvadratrötter vilket är omöjligt att gissa, varför expansion oftast är att föredra då du kan försöka få ut gemensamma faktorer på samma sätt som ovan. Säg att alla rötter hade varit $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ och $\sqrt{5}$. Då hade inte gissning fungerat.