Linjär Algebra - ON-bas
Hejsan! Jag har en uppgift där jag ska bestämma en ny ON-bas med två basvektorer.
Själva uppgiften lyder: Vektorerna u och v har i en ortonormerad bas i rummet koordinaterna (2, 2,1) respektive (2,1, 3). De spänner upp ett plan . Bestäm en ny ortonormerad bas som har två av basvektorerna i .
Hur går jag tillväga här? Jag har kollat i min kursbok med har inte hittat något som kan hjälpa mig. Hoppas att någon här kan :) Tacksam för all hjälp!
Justerade din rubrik så att det inte ser ut som en dubbelpost. /Smaragdalena, moderator
Man borde kunna göra så här: kalla de givna vektorerna A och B. Ta kryssprodukten AxB = C. Den är normal mot planet. Ta CxA = D. Den är ortogonal mot C och ligger alltså i planet. Den är ortogonal mot A också. Normera A, C och D.
Du vill ha två vektorer i planet som är vinkelräta mot varandra och en tredje som är vinkelrät mot båda dessa. Ta t.ex (2,2,1), och normera den, som den första. Om du tar kryssprodukten av de två vektorer du har så får du en vektor som går vinkelrätt mot planet. När du har de två skulle du kunna ta kryssprodukten igen för att få den sista.
Har du stött på Gram-Schmidt-processen än? Det är en allmänn metod för att konstruere en samling ortonormerade vektorer som spänner upp samma rum som en given samling vektorer.
I 2D så faller det dock ut som ett specialfall att man helt enkellt normerar den ena av de två vektorerna och därefter tar fram den ortogonala projektionen av den andra vektorn på den första (Se bilden i wikipediaartikeln).
Tack!! Ni alla förklarade det väldigt enkelt! Har dock en liten fråga, när jag beräknade kryssprodukten av AxB får jag (5, -4, -2) men i facit har de skrivit (-5, 4, 2) spelar det någon roll? Dessutom fick jag att CxA är (0, -9, 18) men i facit hade de (0, -1, 2). Vad händer med 9:an som bryts ut? :) Annars fick jag rätt! Tack igen!
jans skrev:Tack!! Ni alla förklarade det väldigt enkelt! Har dock en liten fråga, när jag beräknade kryssprodukten av AxB får jag (5, -4, -2) men i facit har de skrivit (-5, 4, 2) spelar det någon roll? Dessutom fick jag att CxA är (0, -9, 18) men i facit hade de (0, -1, 2). Vad händer med 9:an som bryts ut? :) Annars fick jag rätt! Tack igen!
Det spelar ingen roll alls, vektorerna skiljer sig bara åt med en multiplikativ konstant (som kan vara negativ). Bara man delar med absolutbeloppet så att vektorn är normerad på slutet så är det bra.
Det spelar ingen direkt roll (5, -4, -2) är ju bara negationen av (-5, 4, 2).
Jag antar att det föll ut som en konsekvens av att kryssprodukten är antikommutativ
Jag kan inte veta vad som händer med 9:an men generellt så tar man bort gemensamma faktorer från vektorer om det endast är riktningen som spelar roll då det är lättare att visualisera vektorn om koordinaterna är små.
Ok, tack till er!!
