Linjär Algebra

Hej! Jag förstår inte riktigt hur jag ska gå till väga med denna uppgift, jag hoppas att någon här kan hjälpa mig! :)

Uppgift:

För vilka a bildar vektorerna u₁ = v1/|v1|, u₂ = v2/|v2| och u₃ = v3/|v3| en ON-bas? (Från tidigare uppgift vet vi att v₁= (-5, 2a, 1), v₂= (a, 2, 1) och v₃ = (0, 1, -2). Även att vektorerna är oberoende.)

Jag tänker att man kanske ska beräkna absolutbeloppen av vardera eller skriva ihop en matris och multiplicera kolumnerna för att ta reda på a först? Tacksam för all hjälp! :)

För att vektorer ska vara en ON bas så. Krävs två saker:

1. Vektorerna I basen är ortogonala

2. De är normerande (längd 1).

Hur kan du ta reda på om två vektorer är ortogonala?

Absolut! Men säg att jag har tagit reda på värdet av a, vad gör jag sen? Jag förstår inte riktigt grejen med u1 = v1/|v1| osv. Varför introducera u1? Det är därför jag blir förvirrad..

Jag har fått fram att a=1, men om jag skulle sätta |v1|=|v2| blir det fel! $\sqrt{30}$ = $\sqrt{6}$ stämmer inte. Men vektorer i en ON-bas ska ha samma längd, och enligt facit ska a=1...

Poängen med att dela med absolutbeloppet av vektorn är att längden alltid blir $1$ . Längderna av vektorerna $u_1$ , $u_2$ och $u_3$ är alltså alltid 1.

Det enda du behöver bry dig om är alltså att vektorerna skall vara ortogonala. Hur kan du undersöka det? Ett tips är att tänka vad skalärprodukten blir om vektorerna är ortogonala.

Precis som Alvin säger: Eftersom de redan varit schyssta och normerat (eller ja...infört notationen i alla fall) så behöver du enbart ta reda på ortogonalitet.

För detta kan du använda definitionen av skalärprodukten, $A\cdot B=||A|| ||B||cos(\theta)$ , där $\theta$ är vinkeln mellan dessa två vektorer A och B. Så för att de ska vara ortogonala (vinkelräta) så är alltså skalärprodukten...0! Använd detta! :)

Exempel: $A=(a_1,a_2,a_3)$ och $B=(b_1,b_2,b_3)$ , då är $A\cdot B=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ . Ska dessa två vektorer vara vinkelräta, eller ortogonala, måste denna likhet vara noll! Alltså: $A\cdot B=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3=0$ ger att A och B är ortogonala.

Ah, nu förstår jag! Självklart! Tack så mycket :)

Svara

Visa senaste svar