Linjär algebra

Har du räknat ut egenvektorerna?

Egenvektorer till A är även egenvektorer till A^3. Vad blir egenvärdena till A^3?

Vad betyder dina x1, x2, x3? Kan du visa linjärkombinationen?

Jag har egenvektorerna (0, -1, 2) ,  (1, 2, -4) och (0, -2, 5). 

Jag gjorde så att jag skrev det som en linjärkombination av mina egenvektorer och då gör man väl något i denna stilen.

$\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right) = x_1 \left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right) + x_2 \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right) + x_3 \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 5\end{array}\right)$

Resultatet jag får är då som jag skrev tidigare.

Vad är A:s egenvärden till egenvektorerna du har tagit fram?

Jag hade räknat fel också. Dina egenvektorer ser rätt ut, men inte linjärkombinationen.

Egenvektor (0, -1, 2) med egenvärdet 1, egenvektor (1, 2, -4) med egenvärde 2, egenvektor (0, -2, 5) med egenvärde 3.

Jag räknade om och fick att x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1. Borde stämma om jag inte gjort något slarvfel :) Men vet inte hur jag tar mig vidare nu...

Om w är en linjärkombination 

$w = c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3$

av egenvektorer till A, där t.ex

$Av_1 = \lambda_1v_1$

så är enligt definition och  linjäritet

$Aw = A(c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3) =c_1Av_1 + c_2Av_2 + c_3Av_3$

Använd nu att v1 etc är egenvektorer, så har du att 

$Aw = c_1\lambda_1v_1 + c_2\lambda_2v_2 + c_3\lambda_3v_3$

Är något av detta oklart?

Ta A gånger din linjärkombination. Du kan behandla de tre termerna separat. Ta sedan A gånger resultatet. Och sedan en gång till. 

Dr.G menar du att i mitt fall $x_{1 }{\lambda }_1{V}_{1 }+ x_2 {\lambda }_2{V}_2+x_3{\lambda }_3{V}_{3 }$ kommer ge mig mitt svar?

Laguna. Jag gör såhär:

$A{x}_1\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)+A{x}_2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)+A{x}_3 \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 5\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 31\end{array}\right)$

sedan gångar jag resultatet med A och får $\left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 31\end{array}\right)$

vilket är rätt svar.

Du säger dock att jag ska ta A gånger alla tre termer i linjärkombinationen och sedan A gånger resultatet och sedan A gånger det. Var det såhär du menade eller missuppfattar jag det du skrivit?

Hur skriver jag upp detta på rätt sätt? Kan jag skriva det såhär :  

$A^3*\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 3\end{array}\right) = A(A{x}_1\left(\begin{array}{c}0\\ -1\\ 2\end{array}\right)+A{x}_2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -4\end{array}\right)+A{x}_3 \left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ 5\end{array}\right) )=A* \left(\begin{array}{c}4\\ -11\\ 31\end{array}\right)$

steinEin skrev:

Dr.G menar du att i mitt fall $x_{1 }{\lambda }_1{V}_{1 }+ x_2 {\lambda }_2{V}_2+x_3{\lambda }_3{V}_{3 }$ kommer ge mig mitt svar?

Det jag vill få fram är först hur A opererar på w genom att skriva w som linjärkombination av A:s egenvektorer.

A^3 har samma egenvektorer som A och egenvärdet är det som för A i kubik. Om detta är oklart, så tänk att

$A^2v_1 = (AA)v_1 = A(Av_1) =A(\lambda_1v_1) =\lambda_1Av_1= \lambda_1\lambda_1v_1 = \lambda_1^2v_1$

Grejen var att man skulle slippa multiplicera med A alls. 

Hej!

Du skriver den givna vektorn $b$ som en linjärkombination av de tre egenvektorerna ($e_i$) 

    $b = x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3$. 

Talen $x_i$ får du genom att beräkna skalärprodukter $b \cdot e_i$. Jag noterar att de egenvektorer som du angivit inte är vare sig ortogonala eller normerade.

    $b\cdot e_1 \,:\,10x_1-20x_2+24x_3=14$.

    $b \cdot e_2\,:\,10x_1-21x_2+24x_3 = 13$.

    $b\cdot e_3\,:\,12x_1-24x_2+29x_3 = 17$.

Man ser direkt att $x_2=1$ vilket ger de två ekvationerna 

    $10x_1+24x_3=34 \text{ och } 12x_1+29x_3 = 41 \iff 60x_1+144x_3=204 \text{ och } 60x_1 + 145x_3 = 205$ 

från vilket det direkt framgår att $x_3 = 1$ som ger $x_1 = 1$. 

Den givna vektorn ($b$) kan uttryckas med hjälp av matrisens $A$ egenvektorer som

    $b = e_1+e_2+e_3$.

För att beräkna vektorn $Ab$ utnyttjar du denna representation.

    $Ab = Ae_1+Ae_2+Ae_3 = e_1+2e_2+3e_3$.

Sedan blir vektorn $A^2b$ lika med 

    $Ae_1+2Ae_2+3Ae_3 = e_1+4e_2+9e_3$

och slutligen den sökta vektorn

    $A^3b = e_1+8e_2+27e_3 = (8,-39,105)$.

Tack Albiki för väldigt tydlig förklaring! :D