Linjär Algebra
Hejsan. Jag har en fråga...
Om vi vet att planet: x - y - z = 4 och vi vet att en linje L går genom punkten (1, -1, 0). Linjen är ortogonal mot planet. Vi vet att planets normalvektor = (1, -1, -1), betyder det att linjen L1 alltid kommer ha samma riktningsvektor ? Alltså kommer linjen L1 kunna skrivas i parameterform som L1: (x, y, z) = (1, -1, 0) + t (1, -1, 1) ? Jag har nämligen en uppgift jag inte lyckas lösa...
Linjen L1 passerar genom punkten (1, −1, 0) och är ortogonal mot planet
x − y − z = 4. Linje L2 går genom punkterna (1, 3, 2) och (2, 2, 4).
Bestäm (det kortaste) avståndet mellan L1 och L2.
Jag har kommit så långt som att jag tagit fram att linjen L2: (x, y, z) = (1, 3, 2) + t (1, -1, -2)
Kommer dock inte längre än så...
Gissa vad jag skulle börja med?
Berätta :) Jag gissar på att det är någon synpunkt på mitt inlägg och inte själva frågan du tänker på :)
"Standardfråga 1a: Har du ritat?"
Jag trodde att jag hade skrivit det så många gånger att alla visste att det är det jag brukar rekommendera.
Jag försökte mig på att rita och normalvektorn och L1 som är ortogonal mot den förstår jag hur det ska se ut på ett ungefär men inte L2...
Att rita i 3D är inte det lättaste, det skall jag villigt erkänna.
Jag minns att vi hade en uppgift här på Pluggakuten som påminde mycket om den här för inte alls länge sedan. Skall se om jag hittar den tråden.
EDIT: Här är tråden
Jag tror du slarvar när du anger L1 och L2
En vektor mellan (1,3,2) och (2,2,4) är (1,-1,2), alltså är
L2:
För L1 gäller att den ska vara ortogonal mot (dvs vara parallell med en normal till) planet. Eftersom planet har normalen (1,-1,-1) blir
L1:
Avståndet mellan en punkt på L1 och en punkt på L2 ges av avståndsformeln. Minimera med avseende på s och t så får du det minsta möjliga avståndet mellan linjerna.
Edit: Ett mindre pedagogiskt men kanske mer elegant lösningssätt är att projicera vektorn mellan linjernas referenspunkter ((1,3,2)-(1,-1,0)) på enhetsvektorn där alltså är linjernas riktningsvektorer.
