Linjär algebra

Hej alla!

Behöver hjälp med följande problem:

Bestäm avståndet från punkten (1 , 5) till linjen med ekvation y = 3x.

Jag började först med att parametrisera själva linjen för att sedan skapa en vektor $\vec{Q P}$ där punkten $Q$ finns i origo och punkten P finns i (1 , 5). Därefter projekterar jag vektorn på linjen som vi kan kalla för $L$ för att sedan kolla vad $p e r p_{L} \overset{⇀}{Q P}$ blir. Därefter beräknar jag avståndet men svaret jag får stämmer inte överens med facits. Tänker jag fel någonstans på vägen?

Hej

Jag antar att du menar att $L$ är riktningsvektorn? Vad säger du att $L$ är?

Visa även din uträkning så blir det lättare för oss att hjälpa dig.

Det känns i grunden som rätt tänk, men jag skulle nog bara beräknat skärningen mellan:

$y=3x$

och

$y-5=-\frac{1}{3}(x-1)$

Alltså, en vinkelrät linje som går genom den angivna punkten.

Om du vill få återkoppling på dina beräkningar får du lägga upp dem mer i detalj. Svårt att bedöma precis vad du gjort utifrån vad du skrivit på en övergripande nivå.

Om jag tolkar dig rätt bör det bli rätt.

Annars kan man gå från (1,5) längs (-3,1) tills man når linjen y = 3x, d.v.s

x = 1 - 3t

y = 5 + t

och här ska då y = 3x, så

5 + t = 3(1 - 3t)

o.s.v, men det kan också lösas med projektioner.

Det du skriver låter rätt. Har du ritat?

jonis10 och tomast10, förlåt för att jag är lite flummig. I detta fall vill man ha det kortaste avståndet från själva linjen till punkten. Nyckeln till detta är att avståndet alltid är vinkelrätt mot själva linjen. Det första jag gör att är att jag parametriserar $y = 3 x$ och fått att $L = t [\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}]$ . Därefter skapar jag en vektor som sträcker sig från origo till punkten (1 , 5). Vektorn kallar jag för $\overset{⇀}{Q P}$ $= [\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}]$ . När man ritar upp allting får man en vinkelrätt triangel där en katet blir det kortaste avståndet mellan punkten och linjen. Därefter beräknar jag vad $p r o j_{L} \overset{⇀}{Q P}$ blir vilket är detsamma som $\frac{\overset{⇀}{Q P} \cdot L}{{||L||}^{2}} \cdot L = \frac{[\begin{matrix} 1 \\ 5 \end{matrix}] \cdot t [\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}]}{t^{2} + 9 t^{2}} \cdot t [\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 8 \\ 15 \end{matrix}]$ $L$ för att sedan beräkna vad $p e r p_{L} \overset{⇀}{Q P}$ blir. Det är alltså den del av vektorn $\overset{⇀}{Q P}$ som är vinkelrät mot linjen $L$ . Det får man genom subtrahera vektorn $\overset{⇀}{Q P}$ med den ovanstående projektionen. Alltså $p e r p_{L} \overset{⇀}{Q P} = \overset{⇀}{Q P} - p r o j_{L} \overset{⇀}{Q P}$ . I detta fall får jag att $p e r p_{L} \overset{⇀}{Q P} = [\begin{matrix} \frac{7}{15} \\ \frac{51}{15} \end{matrix}]$ . Därefter beräknar jag avståndet då det är detsamma som $||[\begin{matrix} \frac{7}{15} \\ \frac{51}{15} \end{matrix}]||$ .

Laguna jag har testat att rita men det har inte hjälpt så mycket

Vad händer när du skalärmultiplicerar QP och L? (1 3) är L:s riktning, men var kommer sedan (8 15) ifrån?

Oj! Det var där felet låg. Jag fick fram svaret nu. Tack för att du fick mig att inse vart det gick snett! :)

Svara

Visa senaste svar