Linjär algebra
Bestäm avbildningsens matris för planet P: x+2y+3z=0 där en matris vars funktion är att ur koordinaterna för en punkt ta fram koordinaterna för den punkt i planet som ligger närmast.
Hur ska man ens börja?
Är du med på att det som efterfrågas är samma sak som ortogonal projektion på planet
x + 2y + 3z = 0
?
Jag tänkte typ av man har en punkt P: (x0,y0,z0) och en punkt i planet t.ex. P0 (0,0,0) och sen en projektion på planets normal av vektorn P0P. Då får jag bara det kortaste vektorn mellan planet och punkten P.
Ja, det blir väl samma sak.
Matrisen kan du få fram genom att ta fram avbildningarna av basvektorerna (1,0,0) etc genom att projicera dessa på planets normal och trixa lite.
Annars kan du gå via projektionens egenvektorer.
Kan du visa hur du menar med projektionens egenvektorer.
Om jag projicerar basvektorerna blir dom (1,0,0) -> (1/14,1/7,3/14) ; (0,1,0)-> (1/7,2/7,3/7) ; (0,0,1) -> (3/14,3/7,9/14)
Kan det stämma? blir då avbilnindsmatrisen ?
Normalen är en egenvektor med egenvärde 0. I planet kan du ta två linjärt oberoende vektorer. Dessa är egenvektorer med egenvärde 1.
Basvektorerna kan uttryckas som en linjärkombination av de valda egenvektorerna. Bilderna av basvektorena kan då fås fram (via linjäriteten).
Det är kanske enklare att projicera basvektorena (1,0,0) etc på normalen och ta fram deras avbilder direkt utan att dra in egenvektorer.
Okej, men jag gjorde projektionen är det är den korrekt?
Jag kollar på det när solen inte skiner :)
EDIT: du kan kontrollera själv genom att undersöka ifall normalen avbildas på nollvektorn och två linjärt oberoende vektorer i planet avbildas på sig själva!
Du verkar ha projicerat basvektorena på planets normal.
Dra bort den projektionen från vektorn så hamnar du i planet.
Du kan även ta identitetsmatrisen minus din matris A för att få fram matrisen för projektion på planet.
