Linjär Algebra

$e_{1}$ och $e_{2}$ är basvektorerna i linjär algebra. De har ingenting med talet e att göra. De är definierade som vektorerna (1,0) respektive (0,1). 

För självaste uträkningen verkar det inte spela någon roll om man sätter att höjden = x1*e1 eller =x2*e2? Det går inte att veta vilken som är vilken (1,0 & 0,1) av e1 och e2? Är e1 generellt definierad som (1,0)? 

Stämmer detta?

Man brukar definiera $e_1$ som (1,0) och $e_2$ som (0,1). Ofta står det i uppgiften att man använder sig av ett ortonormalt högerhandssystem (men det där med högerhands spelar inte någon roll förrän man kommer till tre dimensioner).

Nja, det man egentligen menar med högerhandssystem är ju att basen är positivt orienterad. Det går utmärkt att ha en negativt orienterad bas i två (eller n) dimensioner också, t.ex. basen (1,0), (0,-1).

Men..! Hur kan Vektorn V vara .. 

V=x1*e1+x2*e2=x1+x2 men också

V=sqrt(X1 ^2+x2^2)??

Svaret ligger i komposantuppdelning antar jag. Men varför skulle jag anta att x1e1 eller x2e2 är en katet?

Plopp99 skrev:

Men..! Hur kan Vektorn V vara .. 

V=x1*e1+x2*e2=x1+x2 men också

V=sqrt(X1 ^2+x2^2)??

Svaret ligger i komposantuppdelning antar jag. Men varför skulle jag anta att x1e1 eller x2e2 är en katet?

Det första uttrycket för V är komposantuppdelning, men du har skrivit av det fel. Det ska inte vara bara x1 + x2.

Det andra uttrycket har du också skrivit av fel. Det ska vara beloppet av V, dvs |V|. Och där är det helt enkelt Pythagoras sats som gäller.

Varför är det första uttrycket för V komposantuppdelning? Jag förstår självaste matematiska utvecklingen men inte den bakomliggande grafiska förståelsen, dvs varför det är en komposantuppdelning?

Vad är det för skillnad på |V| och V, |V| brukar beteckna avstånd (i geometri - min erfarenhet). Vad betecknar V? Vad är skillnaden mellan dom? Vad beskriver dom? 

Om du startar i en viss punkt, hamnar du på samma ställe om du först går 1 km åt öster och sedan 1 km åt norr, som om du går 1,41 km åt nordost.

Om du läser universitetsmatte bör du ha läst om komplexa tal i Ma4. Detta är väldigt likt det faktum att man kan uttrycka ett visst komplext tal antingen i formen z = a+bi eller med en vinkel och ett absolutbelopp.

Min fråga är, hur vet du att du går 1 km öst eller nord? (Om man utgår från matriserna). Handlar det om att e1=x-led, e2=y-led, e3=z-led? Då är svaret självklart för mig.

Plopp99 skrev:

Min fråga är, hur vet du att du går 1 km öst eller nord? (Om man utgår från matriserna). Handlar det om att e1=x-led, e2=y-led, e3=z-led? Då är svaret självklart för mig.

Ja det stämmer.

$\vec{e_1}$ är en vektor som har längden 1 och är riktad i positiv x-led, dvs $\vec{e_1}=(1,0,0)$. $x_1$ anger hur stor komposant $\vec{V}$ har i denna riktning, dvs hur långt man "går" i x-riktningen.

$\vec{e_2}$ är en vektor som har längden 1 och är riktad i positiv y-led, dvs $\vec{e_2}=(0,1,0)$. $x_2$ anger hur stor komposant $\vec{V}$ har i denna riktning, dvs hur långt man "går" i y-riktningen.

$\vec{e_3}$ är en vektor som har längden 1 och är riktad i positiv z-led, dvs $\vec{e_3}=(0,0,1)$. $x_3$ anger hur stor komposant $\vec{V}$ har i denna riktning, dvs hur långt man "går" i z-riktningen.

Yngve, vad är det för skillnad på |V| och V? 

Stämmer det att |V| är avståndet för vektorn V?

Och

V summa av alla kateterna som bygger upp vektorn? Denna är jag osäker på..

Nu är jag inte Yngve, men i alla fall:

V är en vektor. Den har en storlek (längd) och en riktning-

|V| är en skalär, d v s |V| har en storlek men ingen riktning. |V| har samma storlek som V.

Tack så mycket!

Plopp99 skrev:

Yngve, vad är det för skillnad på |V| och V? 

Stämmer det att |V| är avståndet för vektorn V?

Och

V summa av alla kateterna som bygger upp vektorn? Denna är jag osäker på..

$|\vec{V}|$ (egentligen $||\vec{V}||$) är längden av vektorn $\vec{V}$. Det kallas även för magnituden, normen eller (absolut)beloppet.

Detta är ett tal som är större än eller lika med 0.

$\vec{V}$ är en vektor, vilket är en storhet som har både längd och riktning.

Börja med att repetera de grundläggande vektorbegreppen här.

Sedan kan du läsa en översikt av vektorer på "din" nivå här.

------

Ja, du kan dela upp en vektor så att den blir en summa av flera vektorer (komposanter). Men det är endast om du har tvådimensionella vektorer som du kan prata om kateter.