Linjär algebra
Hur löser man den här uppgiften? vad är den konstanta termen?
Hej!
Systemet kan skrivas på matrisform som , där är en matris och är en vektor och betecknar nollvektorn.
.
Om matrisen A har en invers, så har systemet den enda lösningen X=0; detta inträffar precis då talet inte är lika med talet noll. Talet kallas för determinanten till matrisen A.
Jadå, annars kan det här vara enklare att lägga ihop ekvationerna 2 och 3:
(4+a)y=0
som ska gälla för alla a, således måste y=0. Sedan är det lätt att ta fram x och z ur systemet.
HT-Borås skrev :Jadå, annars kan det här vara enklare att lägga ihop ekvationerna 2 och 3:
(4+a)y=0
som ska gälla för alla a, således måste y=0. Sedan är det lätt att ta fram x och z ur systemet.
Du har rätt, men Zeshen skrev rubriken Linjär algebra så jag tänkte att svaret kunde få innehålla begrepp från Linjär algebra.
Tack så mycket för hjälpen! :D
HT-Borås skrev :Jadå, annars kan det här vara enklare att lägga ihop ekvationerna 2 och 3:
(4+a)y=0
som ska gälla för alla a, således måste y=0. Sedan är det lätt att ta fram x och z ur systemet.
Notera att detta argumentet är felaktigt. I det fallet då a=-4 så kan y anta andra värden. Det de är ute efter i uppgiften är troligen något svar på formen "Då a antar värdet b så är lösningen..., då a antar värdet c så är lösningen..., då a varken antar värdet b eller c så är lösningen...".
.jpg?width=80&crop=0,0,80,80)
JohanB skrev :HT-Borås skrev :Jadå, annars kan det här vara enklare att lägga ihop ekvationerna 2 och 3:
(4+a)y=0
som ska gälla för alla a, således måste y=0. Sedan är det lätt att ta fram x och z ur systemet.
Notera att detta argumentet är felaktigt. I det fallet då a=-4 så kan y anta andra värden. Det de är ute efter i uppgiften är troligen något svar på formen "Då a antar värdet b så är lösningen..., då a antar värdet c så är lösningen..., då a varken antar värdet b eller c så är lösningen...".
Nej, det är inte felaktigt. Om så erhålls bara oändligt många lösningar, det blir inte olöst för det. Att använda sig av radreducering eller att framåt- eller bakåtsubstituera är helt ekvivalent, det är exempelvis så en dator löser ekvationssystem.
Fast det (felaktiga) argumentet var att om (4+a)y=0 så måste det gälla att y=0. Ett motexempel är just (exempelvis) a=-4 och y=1. Då är (4+a)y=0 utan att y=0.
Jag har inte sagt något om antal lösningar av ekvationssystemet åt endera hållet (och det är något man sedan får undersöka vidare i vardera fallet).
Lösningen skulle gälla alla värden på a, inte bara somliga värden på a...
JohanB skrev :Fast det (felaktiga) argumentet var att om (4+a)y=0 så måste det gälla att y=0. Ett motexempel är just (exempelvis) a=-4 och y=1. Då är (4+a)y=0 utan att y=0.
Jag har inte sagt något om antal lösningar av ekvationssystemet åt endera hållet (och det är något man sedan får undersöka vidare i vardera fallet).
Jag förstår inte vad du menar riktigt men summan av kardemumman är att man kan göra så som HT-borås säger eftersom det är ekvivalent med Gausseliminering eller vad du föredrar att man ska använda. Du kommer alltså få exakt samma svar, kommer kunna analysera a på exakt samma sätt och därför kan det inte finnas något "felaktigt" med det. Testa så får du se för all del :)
Jag är fullt medveten om vad Gausseliminering innebär, det är inte i det steget felet begås.
Att lägga ihop de två ekvationerna ger ekvationen (4+a)y=0. Det är korrekt.
Att därifrån dra slutsatsen att y=0 är fel. Man måste undersöka specialfallet a=-4 för sig. Detta syns också om man beräknar deteminanten då den har en rot i a=-4 (och i 0).
JohanB skrev :Jag är fullt medveten om vad Gausseliminering innebär, det är inte i det steget felet begås.
Att lägga ihop de två ekvationerna ger ekvationen (4+a)y=0. Det är korrekt.
Att därifrån dra slutsatsen att y=0 är fel. Man måste undersöka specialfallet a=-4 för sig. Detta syns också om man beräknar deteminanten då den har en rot i a=-4 (och i 0).
Jaha, nu förstår jag vad du menar. Om det skall gälla för alla a så måste y = 0, precis som HT-Borås säger. För då skall ekvationen gälla vilket a du än stoppar in. Men om man skall lösa systemet för alla värden a så måste man specialbehandla fallet a=-4 så som du säger och det var ju det sistnämnde som frågan handlade om. Den är ju grönmarkerad nu så jag antar att budskapet nådde fram. :)
HT-Borås skrev :Lösningen skulle gälla alla värden på a, inte bara somliga värden på a...
Det är lite subtilt, men det man menar i uppgiften är nog att man för varje värde på a ska sedan lösa den (då den typen av problem är rätt vanliga på tentor/inluppar etc).
Jämför följande två "satser":
För alla a existerar b så att a+1=b.
Det existerar b så att a+1=b för alla a.
Sats 2 är felaktig då det inte finns något b så att det gäller för alla a samtidigt. Man stöter oftast på den här typen av tolkningsproblem när man introducerar kvantorer någon gång.
