Linearisering

Förstår inte varför lineariseringen av en funktion f kring en viss punkt (a,b) är en approximation av funktionsvärdet i samma punkt, eftersom tangenten ju går genom punkten och antar väl därmed samma funktionsvärde som funktionen? Naturligtvis kan man inte använda samma tangent för alla punkter, då fattar jag att det blir en approximation, men funktionsvärdet i samtliga punkter borde väl ges av respektive punkts tangents funktionsvärde i samma punkt?
Så förstår inte varför man skriver $f\left(x\right)\approx L\left(x\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$istället för $f\left(x\right)=L\left(x\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$. 

Förstår heller inte varför man skriver $f\left(x\right)\approx L\left(x\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$istället för $f\left(a\right)\approx L\left(a\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$. I punkten (a, f(a)) söker vi f(a) men om a inte beror av x får vi ju att även $f\left(b\right)\approx L\left(b\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$alt $f\left(c\right)\approx L\left(c\right)=f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)(x-a)$vilket ju inte stämmer. Eller tänker jag fel?

Tacksam för svar