Lineära avbildningar

Om du har ett enklare problem, säg xy-planet i "det vanliga" 3-dimensionella rummet -- kan du lösa motsvarande uppgift då?

hmm tänker att jag då skulle kunna ta fram den andra genom att en blir väl nollrummet och andra värderummet? eller blandar jag ihop det nu?

Det här är ju hela tiden linjära avbildningar, så man kan fritt flytta runt skalära faktorer (avbildningen av faktorn och faktorn av avbildningen ger samma resultat) och avbilda summor genom att avbilda deras termer -- en vektor som har lite x, lite y och lite z, vad händer med den när man projicerar den på xy-planet? Hur förhåller det sig till nollrum och värderum och sånt? När man varit så konkret att man sagt xy-planet så kan du säga väldigt konkret hur matrisen för den ortogonala projektionen ser ut. Speciellt: Om du kan göra det för enhetsvektorerna så har du egentligen löst problemet.

förstår ändå inte :( ska försöka hitta någon video där de förlorar, för min bok är inte alls förklarande :(

Om du vill projicera på xy-planet så är den projektionsoperatorn

$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$

Tänk att du har en vektor som är (x,y,z), vilket innebär att den är $x*\overrightarrow{x}+y*\overrightarrow{y}+z*\overrightarrow{z}$=$x\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)+z\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Effekten av P blir att z "försvinner", så P*(x,y,z) = (x,y,0)

Det kanske hjälper att kolla in en video, typ den här: https://www.youtube.com/watch?v=yUdWFHIbYZc

För att komma vidare med den uppgift du behöver lösa behöver du nog tänka på hur du kan skapa en projektionsoperator som som "sparar" de givna vektorerna som genererar planet och hur du nollar de som är ortogonala.

Varje vektor $\overrightarrow{x}$ kan på ett unikt sätt delas upp i två delar: en komposant ${\overrightarrow{x}}_{\parallel }$som ligger i U och en komposant ${\overrightarrow{x}}_{\perp }$som ligger i $U^{\perp }$. Dvs $\overrightarrow{x}={\overrightarrow{x}}_{\parallel }+{\overrightarrow{x}}_{\perp }$.  Projektionen som söks är avbildningen $\overrightarrow{x}\mapsto {\overrightarrow{x}}_{\parallel }$.

Eftersom de två angivna vektorerna utgör en bas för U så kan uppdelningen av $\overrightarrow{x}$ skrivas

$\overrightarrow{x}$ = $\alpha \left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right]+{\overrightarrow{x}}_{\perp }$. Där de de två första termerna motsvarar ${\overrightarrow{x}}_{\parallel }$.Vi behöver dock veta värdet på skalärerna $\alpha$ och $\beta$.

Detta kan vi fixa genom att matrismultiplicera båda led med $\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]$ respektive $\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -1\end{array}\right]$. 

$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]\overrightarrow{x}=\alpha \left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]+\beta \left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]{\overrightarrow{x}}_{\perp }=4\alpha +0+0$.

Dvs $\alpha =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]\overrightarrow{x}$.

Genom att matrismultiplicera med $\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -1\end{array}\right]$ får man på liknande sätt 

$\beta =\frac{1}{4}\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -1\end{array}\right]\overrightarrow{x}$.

Med utnyttjande av detta så får vi

${\overrightarrow{x}}_{\parallel }=\frac{1}{4}\left(\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\\ 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\\ -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -1\end{array}\right]\right)\overrightarrow{x}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1\end{array}\right]\overrightarrow{x}$.

Nu klarar du resten själv.