Lineär algebra - determinanten-volymprodukt

Om $e_{1}, e_{2}, e_{3}$ är en bas för rummet och vi vill beräkna volymen av en parallellepiped som spänns upp av tre vektorer, då fås volymprodukten (skalär-trippelprodukten) som:

$V (u, v, w) = |\begin{matrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{matrix}| \times V (e_{1}, e_{2}, e_{3})$

Om basen är ortonormerad och positivt orienterad blir $V (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = 1$

Hur räknar man med denna metoden när basen inte är ortonormerad samt positivt orienterad? Jag antar att jag kommer att få en konstant multiplicerat med basen, som kommer att ge en uppskalad vektor?

Om basen är ortonormerad och negativt orienterad, är då $V (e_{1}, e_{2}, e_{3}) = - 1$ ??

Ja, den blir -1.

Man kan visa att V( $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ )² = det(g), där g är en matris som definieras av

g_ij = e_i • e_j,vilket ger

V( $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ ) = $s \sqrt{d e t (g)}$ ,

där s = 1 för positivt orienterad bas och s = -1 för negativt orienterad bas.

Skulle du kunna illustrera hur beräkningen går till?

Uttryck e_i (i = 1, 2, 3) i en positivt orienterad ortonormerad bas B = { $b_{1}$ , $b_{2}$ , $b_{3}$ }.

$e_{i}$ = $\sum_{k}$ $A_{i k}$ $b_{k}$ , ( $A_{i k}$ = $e_{i}$ • $b_{k}$ ).

Då gäller att

V( $e_{1}$ , $e_{2}$ , $e_{3}$ )² = det( $A$ )det( $A$ ) = det( $A$ )det( $A^{T}$ ) = det( $A A^{T}$ ), där vi utnyttjat standardregler för determinantberäkningar.

Vi noterar nu att ( $A A^{T}$ )_ij = $\sum_{k}$ $A_{i k}$ ( $A^{T}$ )_kj = $\sum_{k}$ $A_{i k}$ $A_{j k}$ = $e_{i}$ • $e_{j}$ = g_ij.

Svara

Visa senaste svar