Linear algebra: Bestäm t sådant att punkten C är närmast A.

Ska man bestämma t så att avståndet mellan A och C minimeras? Vad ska man ha B till?

Det finns a) och b) frågor där man beräknar bl a vinklarna för värdet t, drf finns B med uppgiften. Man måste hitta värdet t på nytt (eftersom man gjorde det i a)) då utgår man t värdet ger det kortaste avståndet mellan punkter A samt C.

Vet du hur man beräknar avståndet mellan två punkter?

Ställ upp uttrycket för avståndet mellan A och C.

Vilket t minimerar avståndet? (Använd t.ex. derivata)

Avståndet är enkelt att beräkna, men kan du förklara lite mer om hur man kan göra vidare. Eftersom derivera gör vi inte i algebra, så måste ta en annan fungerande väg. Tack!

Jag har hittat att när t=-1 är C är vinkelrät till A. Men är det inte normalen som går genom A som jag ska söka och det är ju C som är isf normalen till A. Och närmaste punkten till A ges ju av normalen (om den går genom A), har jag rätt då? Tacksam för all svar.

A är bara en punkt. Den har ingen normal. Om man betraktar C(t) som en linje parametriserad av t så har den normaler. 

Men minimala värdet för en andragradsfunktion bör du kunna hitta utan derivering. 

Jag har lite svårt att förstå varför du inte skulle få minimera avståndet. Men här får du en lite mer komplicerad lösningsgång:

Läget av punkten C beror av t enligt $(0,0,1)+t(1,1,0)$, vilket är en linje med riktningsvektor $\vec{u}=(1,1,0)$ och en fast punkt $Q=(0,0,1)$

Det minsta avståndet mellan en punkt $A$ och linjen ges av

$d=\frac{|\vec{u}\times \vec{AQ}|}{|u|}=\frac{|(1,1,0)\times (1,2,2)|}{|(1,1,0)|}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Samtidigt gäller $d^2=(A-C)\cdot (A-C)=2t^2-6t+9$, alltså måste

$\frac{9}{2}=2t^2-6t+9$

$t=\frac{3}{2}$

-----------------------------------------

Och så den lätta vägen: Avståndet mellan punkterna i kvadrat ges av $d^2=2t^2-6t+9$

Vi söker minimum av $d^2$ vilket inträffar då derivatan är 0. Alltså

$4t-6=0$

$t=\frac{3}{2}$

Jroth skrev:

Jag har lite svårt att förstå varför du inte skulle få minimera avståndet. Men här får du en lite mer komplicerad lösningsgång:

Läget av punkten C beror av t enligt $(0,0,1)+t(1,1,0)$, vilket är en linje med riktningsvektor $\vec{u}=(1,1,0)$ och en fast punkt $Q=(0,0,1)$

Det minsta avståndet mellan en punkt $A$ och linjen ges av

$d=\frac{|\vec{u}\times \vec{AQ}|}{|u|}=\frac{|(1,1,0)\times (1,2,2)|}{|(1,1,0)|}=\frac{3}{\sqrt{2}}$

Samtidigt gäller $d^2=(A-C)\cdot (A-C)=2t^2-6t+9$, alltså måste

$\frac{9}{2}=2t^2-6t+9$

$t=\frac{3}{2}$

Nu blev det solklart! Kunde inte hitta bättre förklaring!

Måste flika in, t=7 inte t=-1

Mozzik skrev:

Måste flika in, t=7 inte t=-1

man skulle hitta t värdet för att bilda rät vinkel mellan C och A. Så utgick man från givna värden för att hitta t (cos (rätt vinkel)=0), annars ja, du har rätt. Tackar!