Lineär algebra

Punkten i planet är

(2y + 2z,y,z)

Vektorn därifrån till (3,-2,-1) har samma (cosinus för) vinkel till normalen som därifrån till (4,-1,-6).

Det borde gå att härja ut y och z från detta. 

Edit: Läste inte frågan ordentligt, det här räknas förmodligen som en projektion i första steget eftersom $\hat{n}=\frac{\vec{n}}{||\vec{n}||}$

Låt $Q'=Q-2(Q\cdot\hat{n})\hat{n}$

$\vec{PQ'}=Q'-P$

Nu ställer vi oss i P och går t steg längs $\vec{PQ'}$ tills vi hamnar i planet.

$(P+t\vec{PQ'})\cdot \vec{n} = 0$

Vår sökta punkt blir $(2,1,0)$

Jag väljer att bygga min tankegång utifrån ortsvektorer. Minns att O:(0,0,0) ligger i planet.

Känner mig bekväm med detta sätt att resonera. Beteckningar enligt figur.

Det innebär att $\overline{OQ}=\begin{bmatrix} 4\\-1\\-6\end{bmatrix}$. Vektor $\overline{v}=(\overline{OQ}\bullet \mathbf{e})\mathbf{e}$, där enhetsnormalvektorn $\mathbf{e}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 1\\-2\\-2\end{bmatrix}$

Spegelpunkten $Q\prime$ bestäms genom $\overline{OQ\prime}=\overline{OQ}-2\overline{v}$, dvs

$\overline{OQ\prime}=\begin{bmatrix} 4\\-1\\-6\end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 2\\-4\\-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\7\\2\end{bmatrix}$, varav $Q\prime=(0,7,2)$.

Inkommande linje L har riktningsvektor $\overline{Q\prime P}=\begin{bmatrix} 3\\-9\\-3\end{bmatrix}$.

Linjen L parametriseras: $x=3t, y=7-9t,z=2-3t$.

Sökta punkten X fås slutligen genom att sätta in parametriseringen i planets ekvation:

$3t-2(7-9t)-2(2-3t)=0$, varav $t=2/3$, och $X=(2,1,0)$.