Linalg - summation och trace (spår)
Boken jag läser säger att (2.14) är lika med (2.15). Jag kan se detta om jag ritar upp resulterande matrisen i (2.15), dvs (Y^T * W * W^T * Y) och tar spåret av den och jämför s.a det överenstämmer med uttrycket i (2.14), men detta är ganska krångligt sätt att göra det på. Så min fråga är om det finns något enkelare sätt att se detta samband utan att behöva rita upp matrisen, dvs utnyttja några fina identiteter/samband för att visa att (2.14) är lika med (2.15)? Eller måste man verkligen rita upp matrisen för att visa detta, det känns ju ganska jobbigt.
y(n) står för n:te kolumnvektorn av storlek (D x 1)
Y är matrisen av storlek (D x N), kan ses som en samling av alla y(n) vektorerna i en enda matris
N är antalet kolumnvektorer av storlek (D x 1).
W är matrisen av storlek (D x P)
Dom är väl samma sak term för term?
Alltså 2.15 är ju också en summa av N termer, summan av de N tal som utgör stora diagonalen i
Första termen i 2.14 är radvektorn y(1)^tW gånger kolumnvektorn W^ty(1)=(y(1)^tW)^t. Kallar vi kolumnerna k W för K_1,...,K_P så är alltså (y(1)^t*K_1,....,y(1)^t*K_p) gånger sitt eget transponat den första termen i 2.14.
Men (y(1)^t*K_1,....,y(1)^t*K_p) är också den första raden i Y^tW. Som är identisk med första kolumnen i W^tY=(Y^tW)^t. Så elementet på position (1,1) i matrisen Y^tWW^tY är precis (y(1)^t*K_1,....,y(1)^t*K_p) gånger sitt transponat. Det vill säga samma sak som första termen i 2.14.
