LinAlg Matriser
Gäller följande för matriser A, B, C och D?
(AB=C och AD=C) => B = D
Nej.
Antag att A bara består av nollor.
Då kan vi inte säga ett dyft om B.
Jag antar dessutom att du ville undersöka om vi kunde komma fram till att B = D, för jag ser annars inte varför det andra sambandet skulle säga någonting.
Ojdå det skulle stå ett D istället för C! Har ändrat nu.
Stämmer det påståendet?
Nej.
Antag att A bara består av nollor.
Då kan vi inte säga ett dyft om B eller D.
Bara att C med nödvändighet också bara består av nollor.
Se beviset av satsen som säger att (AB)-1=B-1A-1 längst ned på översta bilden och högst upp på nedersta bilden. Är det inte det resonemanget som jag frågade om tidigare som de använder för att visa att A=B?
Ditt påstående gäller om A är inverterbar (ty då kan man multiplicera med A-1 från vänster på båda leden och få B och D till samma värde).
Jag försöker tänka ut hur det gäller i andra fall (såsom att matriserna kanske inte är kvadratiska) men om du vill ha ett snabbt svar som jag tror innefattar det som står i läroboken så har du det där.
Tack!
Det gäller att om AB = AD = C så gäller det att B = D + N där N är en matris sådan att alla kolonner hos N ligger i nollrummet till A.
Speciellt om nollrummet till A endast innefattar nollvektorn (kolonnerna hos A är linjärt oberoende) så måste vi ha att B = D.
