Linalg: Egenvärde - Diagonalisera matrisen A

https://www.maths.lth.se/media11/exams/linalgnykod/exam_2021-10-26.pdf (länk till gamla tentan, uppgift 6)

Jag börjar med att få karakteristiska  ekvationen (I$\lambda$- A) = 0

$$\begin{gathered} \left[\lambda -1, 0, 0, 0\right] \\ det \left[0, \lambda -2, 0, 0\right] =\hspace{0.17em}{(\lambda -1)}^2 (\lambda -2) (\lambda +1) \\ \left[0, 0, \lambda -1, 2\right] \\ \left[0, 0, 0, \lambda -1\right] \end{gathered}$$

egenvärden är därför -1,2,1

för egenvärde -1:

$$\begin{gathered} -2x_1=0 \\ -3x_2=0 \\ 2x_4=0 \\ -3x_4=0 \\ vilket ger mig vektorn (0,0,1,0) \end{gathered}$$

för egenvärde 2:

$$\begin{gathered} x_1=0 \\ 0=0 \\ 3x_3 + 2x_4\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}0 \\ {x}_4=0 \\ vilket ger mig vektorn (0, 1, 0, 0) \end{gathered}$$

för egenvärde 1:

$$\begin{gathered} 0=0 \\ -x_2=0 \\ 2x_3+2x_4=0 \\ 0=0 \\ vilket ger mig två oberoende vektorer (1, 0, 0, 0) och (0, 0, -1, 1) \end{gathered}$$

därmed får jag:

$S=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right] och D\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& 2\end{array}\right]$

dock är S fel för att jag måste få:

$S=\hspace{0.17em}\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$

vad är det jag gör fel?