LinAlg Bevis

Många (alla?) geometriska formler som gäller i planet gäller också i rummet. Jag fick en uppgift om att bevisa mittpunktsformeln och tyngdpunktsformeln, som båda gäller i både R² och R³. Räcker det att bevisa 2D fallet för att också ha bevisat 3D fallet?

Jag frågade min lärare och hon sa ja, men det känn som att man måste bevisa båda separat egentligen.

Ja alltså, mittpunkten av två punkter $P=(x_1,x_2,\dots,x_n)$ och $Q=(y_1,y_2,\dots,y_n)$ i $ℝ^{n}$ ges av

$M_{PQ}=(\frac{x_1+y_1}{2},\frac{x_2+y_2}{2},\dots,\frac{x_n+y_n}{2})$ .

Om man definierar mittpunkten av $P$ och $Q$ som punkten $M_{PQ}$ på den linje som går genom $P$ och $Q$ sådan att $|PM|=|MQ|$ , så följer det från avståndsformeln att $M$ ges av formeln ovan. För $n=2$ så är avståndsformeln en enkel konsekvens av Pythagoras sats. För $n\geq 3$ så följer avståndsformeln från upprepade applikationer av Pythagoras sats. Givet avståndsformeln, så kommer beviset att se väldigt liknande ut för olika värden på $n$ . Har man alltså gjort det för något värde på $n$ , t.ex. $n=2$ , så är det väldigt lätt att generalisera påståendet till $n=3$ eller till godtyckliga värden på $n$ . Det är nog det din lärare menar.

I strikt bemärkelse räcker det dock inte att bevisa formeln för endast ett $n$ för att dra slutsatsen att den gäller för alla $n$ , utan man behöver bevisa det för godtyckligt $n$ .

I min värld borde det gälla att, om man visar formeln för ngt n, så gäller den också för alla p<n utan ytterligare bevis.

Svara