Limus fråga

Vad är uppgiften?

Är det att

$f(x)=$$\left\{\begin{array}{l}\arctan \left(\frac{1}{x}\right), x > 0\\ \frac{e^{ax}-1}{x}, x<0\end{array}\right.$

Vad ska gränsvärdet i så fall bli?

Handlar det om att bestämma $a$ så att funktionen blir kontinuerlig?

Sorry!

fråga a) bestäm konstanten a så att lim f(x) existerar när x tenderar mot noll,

fråga b) hur kan man utvidga funktionen f så att den blir kontinuerlig i R?

Ok. Du får fel på exponentialfunktionen.

Via MacLaurinutveckling fås att:

$e^{ax}=1+ax+O\left(x^2\right)\approx 1+ax$

Förlåt jag är fortfarande inte på den här nivå -jag vet att du har länkat sidan men jag har inte sammansmälltat den. Kan du snälla ge mig en alternativ lösning som förklarar varför $a=\frac{\pi}{2}$?

Jag förstår. Jag antar i så fall att du känner till standardgränsvärdet:

$\lim_{x\to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1$

Gör substitutionen: $ax = t$ för att få ditt gränsvärde på standardformen!

Ah okej, isf får jag:

$\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^t-1}{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$t$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$a$}\right.}}=a\frac{{\displaystyle e^t-1}}{{\displaystyle t}}=\frac{\pi }{2}$

Taaaack!

....och fråga b)?

Snyggt!

$f(x)$ är odefinierad för $x=0$.

Vad ska gälla för att:

$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ ?

Alternativ lösning på a) är att använda l'Hôpitals regel:

$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{e^{ax}-1}{x}=\lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{ae^{ax}}{1}=a$

@AlvinB: tack! Of course, l'hôpitalregel!

@tomast80: jag trodde att det bli att sätta $\frac{e^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$\pi $}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.}x}-1}{x}=arc\tan \left(\frac{1}{x}\right)$ och jag fick svar $\frac{\pi }{2\ln 2}$ från min beräkning. Men när jag öppnade faciten står det att man måste bara bestämma ett värde för f(0)... frågan låter mer komplicerat att hon betyder :)

Tack för hjälpen!

Ja, du hade en funktion ursprungligen som var definierad för alla värden på $x$ förutom $x = 0$.

Då utökar du funktionen med ett värde: $f(0)$, vilket gör att funktionen sedan är definierad för alla värden på $x$: $-\infty \le x \le \infty$.

Det värde du måste välja för $f(0)$ är just gränsvärdet i punkten $x = 0$. Väljer du ett annat värde blir funktionen inte kontinuerlig. Alltså:

$f\left(0\right)=\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=...$

$\frac{\pi}{2}$ enligt grafen :D

Helt korrekt! 👍