Limes

Hur ska vi tolka din uppgift?

$$\begin{gathered} 1: \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h-1}{h} \\ 2: \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^{h-1}}{h} \end{gathered}$$

Affe Jkpg skrev:

Hur ska vi tolka din uppgift?

$$\begin{gathered} 1: \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^h-1}{h} \\ 2: \underset{h\to 0}{\lim }\frac{5^{h-1}}{h} \end{gathered}$$

Det första. 

Skriv om 1 till 5⁰. Kommer du vidare då?

$f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

Vad kan då f(x) vara i uppgiften?

Det här borde jag förmodligen kunna eftersom jag repeterade avsnittet för ett tag sedan. Ojdå kanske redan två år sedan, men ändå.

Inte helt lätt att förstå era tips ändå.

Smaragdalenas 1 till 5⁰ hur använder man det? 5^h-5⁰?

Affes tips hur använder man det?  $\frac{lim}{h\to 0}\frac{f({\displaystyle \frac{(5^h-1)}{h}}+h)-f({\displaystyle \frac{5^h-1}{h})}}{h}$eller?

Själv gjorde jag ett test på räknaren och fick fram att när h$\to$0 så går värdet mot 1,6 på den givna ekvationen, men det kanske inte alls är vad man är ute efter?

Mer tips behöver i alla fall jag.

$\frac{5^h-5^0}{h}$. Kan du få det att bli samma som formeln för derivatan, för något f och x?

ConnyN skrev:

Det här borde jag förmodligen kunna eftersom jag repeterade avsnittet för ett tag sedan. Ojdå kanske redan två år sedan, men ändå.

Inte helt lätt att förstå era tips ändå.

Smaragdalenas 1 till 5⁰ hur använder man det? 5^h-5⁰?

Affes tips hur använder man det?  $\frac{lim}{h\to 0}\frac{f({\displaystyle \frac{(5^h-1)}{h}}+h)-f({\displaystyle \frac{5^h-1}{h})}}{h}$eller?

Själv gjorde jag ett test på räknaren och fick fram att när h$\to$0 så går värdet mot 1,6 på den givna ekvationen, men det kanske inte alls är vad man är ute efter?

Mer tips behöver i alla fall jag.

Du krånglar till det för dig alldeles i onödan. Variabeln h behövs endast en gång i täljaren och en gång i nämnaren. Tänk på att h = h-0.

Om jag nu tolkar den inledande texten rätt så har vi en förutsättning att  $f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-1}{h}$

Provar man då olika värden på h från t.ex. 1 och mindre siffror så ser man att värdet närmar sig 1,6. Det kan man också se med hjälp av grafen $y=\frac{5^x-1}{x}$Där är något jag förmodligen tänker fel, men kanske ni kan hjälpa mig att komma rätt?

Som jag tolkar era svar så är f(x)=1 eftersom 5⁰=1 och vi har den här situationen.

$f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{f(1+h)-f\left(1\right)}{h}=\frac{(1+h)-1}{h}=\frac{h}{h}=1$Kanske också är fel, men som sagt, tacksam om ni kan guida mig rätt.

Om f(x) = 5^x, hur definieras f’(0)?

ConnyN skrev:

Om jag nu tolkar den inledande texten rätt så har vi en förutsättning att  $f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-1}{h}$

Provar man då olika värden på h från t.ex. 1 och mindre siffror så ser man att värdet närmar sig 1,6. Det kan man också se med hjälp av grafen $y=\frac{5^x-1}{x}$Där är något jag förmodligen tänker fel, men kanske ni kan hjälpa mig att komma rätt?

Som jag tolkar era svar så är f(x)=1 eftersom 5⁰=1 och vi har den här situationen.

$f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{f(1+h)-f\left(1\right)}{h}=\frac{(1+h)-1}{h}=\frac{h}{h}=1$Kanske också är fel, men som sagt, tacksam om ni kan guida mig rätt.

Varför sätter du in (1+h)? Sätt in (0+h) istället!

$$\begin{gathered} f^{\text{'}}\left(x\right)=\underset{h\to 0}{\lim (}\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}\left) \\ f\right(x)=5^x \\ f´(x)=\ln (5)*5^x \\ \underset{k\to 0}{\lim }(f´(x=k))=\ln (5) \end{gathered}$$

Jag skiljde på "h" och "k", för att det möjligen skulle bli mindre förvirrande.

PATENTERAMERA skrev:

Om f(x) = 5^x, hur definieras f’(0)?

$f´\left(x\right)=5^x·\ln 5$och $f´\left(0\right)=\ln 5\approx 1,609$

Hmmm det ser bra ut, men är det verkligen vad de andra har försökt förklara?

Jag minns den här uppgiften. Den låg i avsnittet "blandade uppgifter" i boken Matematik 5000 (3c), tror jag. 

Den är inte lätt som man kanske tror och om jag minns rätt så sa min lärare att uppgiften "bygger på att förstå derivatans definition" eller nåt liknande. Klurig uppgift.

ConnyN skrev:

$f´\left(x\right)=5^x·\ln 5$och $f´\left(0\right)=\ln 5\approx 1,609$

Hmmm det ser bra ut, men är det verkligen vad de andra har försökt förklara?

Ja, om vi tillämpar derivatans definition på funktionen $f(x)=5^x$ får vi

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\, \frac{5^{x+h}-5^{x}}{h}$

Om vi nu undersöker derivatan i punkten $x=0$ ser vi att:

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\, \frac{5^{h}-5^{0}}{h}=\lim_{h\to0}\,\frac{5^h-1}{h}$

Vi har alltså fått förutsättningen  $f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-1}{h}$vilket kan skrivas  =$\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-5^0}{h}$

I mina ögon ser det då ut som att $f\left(x\right)=5^0$ifrån definitionen. $f´\left(x\right)=\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

men ni ser att $f\left(x\right)=5^x$Hur går det till? Jag förstår att ni har rätt, men förstår inte varför?

Jroth skrev:

ConnyN skrev:

$f´\left(x\right)=5^x·\ln 5$och $f´\left(0\right)=\ln 5\approx 1,609$

Hmmm det ser bra ut, men är det verkligen vad de andra har försökt förklara?

Ja, om vi tillämpar derivatans definition på funktionen $f(x)=5^x$ får vi

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to 0}\, \frac{5^{x+h}-5^{x}}{h}$

Om vi nu undersöker derivatan i punkten $x=0$ ser vi att:

$\displaystyle f'(0)=\lim_{h\to0}\, \frac{5^{h}-5^{0}}{h}=\lim_{h\to0}\,\frac{5^h-1}{h}$

OK då tror jag att det börjar gå upp ett liljeholmens för mig, även om veken är kort och lågan riskerar att slockna när som helst ännu så länge :-)

Tack så mycket allihopa hoppas att frågeställaren också blir nöjd.

ConnyN skrev:

Vi har alltså fått förutsättningen  $f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-1}{h}$vilket kan skrivas  =$\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-5^0}{h}$

 

Det skulle stämma om du räknade derivatans värde då $x =0$ alltså f'(0). Men du jobbar fortfarande generellt så varför försvann x:et från 5:ans exponent? :) 

1an är också fel. Det ska stå $5^x$ :)

Smaragdalena skrev:

ConnyN skrev:

Om jag nu tolkar den inledande texten rätt så har vi en förutsättning att  $f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{5^h-1}{h}$

Provar man då olika värden på h från t.ex. 1 och mindre siffror så ser man att värdet närmar sig 1,6. Det kan man också se med hjälp av grafen $y=\frac{5^x-1}{x}$Där är något jag förmodligen tänker fel, men kanske ni kan hjälpa mig att komma rätt?

Som jag tolkar era svar så är f(x)=1 eftersom 5⁰=1 och vi har den här situationen.

$f´\left(x\right)=\frac{lim}{h\to 0}\frac{f(1+h)-f\left(1\right)}{h}=\frac{(1+h)-1}{h}=\frac{h}{h}=1$Kanske också är fel, men som sagt, tacksam om ni kan guida mig rätt.

Varför sätter du in (1+h)? Sätt in (0+h) istället!

Jag är inte riktigt med här. 

Hur ser fortsättningen på ditt resonemang ut? (Ljuset slocknade igen för mig) 

$f'(x)=\lim_{x=>0}\frac{5^{0+h}-5^0}{h}$

Smaragdalena skrev:

$f'(x)=\lim_{x=>0}\frac{5^{0+h}-5^0}{h}$

OK då kanske det ljusnar igen. $f(x+h)=5^{x+h}$och  $f\left(x\right)=5^x$

Ja nu börjar jag sakta se och att fler skrivit samma sak. Tack igen!