Limit av 1-cos(6x)/x^2

Hej! Jag skulle vilja kolla om jag har räknat rätt på den här uppgiften. Jag har fått samma svar som i boken fast är lite osäker om jag har kommit fram till svaret på ett korret sätt

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{x^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (6 x)}{x^{2}} \times \frac{1 + \cos (6 x)}{1 + \cos (6 x)} = \lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos {(6 x))}^{2}}{x^{2} (1 + \cos (6 x))} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos (6 x)} \times {(\frac{\sin (6 x)}{x})}^{2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos (6 x)} \times \frac{\sin (6 x)}{x} \times \frac{\sin (6 x)}{x} \frac{6}{6} \times \frac{6}{6} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos (6 x)} \times \frac{\sin (6 x)}{6 x} \times \frac{\sin (6 x)}{6 x} \times 6 \times 6 (v i l k e t b l i r 36) D å h a r v i a t t \underset{⏟}{\lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + \cos (6 x)}} g å r m o t \frac{1}{2} o c h \underset{⏝}{\underset{⏟}{\frac{\sin (6 x)}{6 x} \times \frac{\sin (6 x)}{6 x}}} g å r m o t 1 . A l l t s å v i h a r k v a r \frac{1}{2} * 36 = 18$
Tack på förhand!

Ja, jag tycker det ser bra ut. Alternativt hade du kunnat använda maclaurinutveckling men det är väldigt bra att du tränar på att använda standardgränsvärden.

Tack för svaret! Jag har dessvärre inte fått lära mig maclaurinutveckling. Tycker den här metoden är lite enklare för mig, trots att det finns andra sätt än det här. Fick tips på att jag kan omvandla 1-cos(6x) till 2sin^2(3x) men tyckte den var svår att förstå :D

Man kan skriva om det på många sätt så länge man kan sina trigonometriska samband. maclaurinutveckling är helt enkelt ett sätt att approximera exempelvis cos(x) nära 0. Om vi utvecklar till ordning 4 så får vi $\dfrac{18x^2+O(x^4)}{x^2}=18$ då x går mot 0. Jag rekommenderar att du läser lite om maclaurins formel om ni jobbar mycket med gränsvärden nära 0 eftersom det är extremt enkelt att använda och gör väldigt svåra/grisiga gränsvärden en barnlek! Du behöver endast memorera utvecklingen för cos,sin och e som i sig inte är så värst svåra att komma ihåg. ln och tan(x) kan du nog skippa eftersom jag inte tror ni jobbar med dessa mycket i matte 4.

Jo jag förstår. Ska följa din rekommendation och lära mig den inför framtida studier. Fast vi får endast göra enligt det sättet som jag visade eller genom trigonometriska samband. Jag vet också att det finns något som heter L'Hoptials rule? Den verkar förenkla arbetet men dessvärre så får vi inte använda den heller, vilket är lite jobbigt. :/

MacLaurin-utvecklingar och l'Hopitals regel är inte något man använder på gymnasienivå. De är mycket användbara när man läser matte på universitet eller högskola.

Smaragdalena skrev:
MacLaurin-utvecklingar och l'Hopitals regel är inte något man använder på gymnasienivå. De är mycket användbara när man läser matte på universitet eller högskola.

Jaha, men där har vi förklaringen. Tycker personligen L'Hopitals är mycket mer effektivare och sparar mycket mer tid. :)

Sätter man:

$f(x)=-\frac{\cos 6x}{2}$
inser man att det efterfrågade gränsvärdet kan skrivas som:

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-2f(0)+f(-x)}{x^2}=f''(0)$
$f'(x)=3\sin 6x$
$f''(x)=18\cos 6x$
$f''(0)=18\cdot 1=18$

Svara

Visa senaste svar