limit

Först: man kan alltid gå in i roten och kan lägga limit...

Andra: I hopital"s rule används derivation för båda nämnare och täljare för att nå resultatet.

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\sqrt[3]{\frac{27x^3+37}{8x^3+24}}$

Det gäller också form av den här frågan.

Skrattade tyvärr lite för mycket åt stavningen till L'Hôtitals regel, men ja om man får $\frac{0}{0}$eller $\frac{\infty }{\infty }$så kan man derivera täljaren och nämnaren och gränsvärdet kommer att bli detsamma. Om man har ett gränsvärde där uttrycket är roten ur något så kan man skriva det som roten ur hela gränsvärdet och uttrycket, detta funkar bara om n:te roten är positiv, dvs inte bara kvadratroten men kubikrot, fjärde roten upp till n:te roten där n>0 och ett heltal, alltså $\sqrt[n]{f\left(x\right)}$, det funkar inte för uttrycket upphöjd till -1/2, -1/3, -1/4 osv. Skulle vi bara direkt derivera täljaren och nämnaren så skulle vi hamna i en oändlig loop då derivatan av $\sqrt{x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$ Sedan så skulle vi behöva använda regeln igen, och igen, och igen osv... Men istället så gör vi som följande, i andra steget så använder vi regeln då vi inte har roten ur täljaren delat på roten ur nämnaren, och sedan så bara förenklar vi och går tillbaks till gränsvärdet av roten istället för roten ut gränsvärdet:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{\frac{9x^2+1}{4x^2+1}}=\sqrt{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{9x^2+1}{4x^2+1}}=\sqrt{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{18x}{8x}}=\sqrt{\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{9}{4}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}$

Det är dock inte så ofta man behöver använda den här tekniken, det är egentligen bara när man har ett gränsvärde som består av roten ur ett bråk av två polynom.

Men

$$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\infty }{\infty } \\ nu kan jag använda R rulle \\ men\sqrt{\frac{f\left(x\right)}{g(x )}} mitt problem är \sqrt{} \end{gathered}$$

Jag skulle nog helt enkelt löst den enligt:

$\lim_{x\to\infty}\sqrt{\frac{9x^2+1}{4x^2+1}}=$
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x\cdot\sqrt{1+\frac{1}{9x^2}}}{2x\cdot\sqrt{1+\frac{1}{4x^2}}}=$
$\displaystyle\frac{3}{2}$

Du behöver inte använda L'hospitals regel för att lösa gränsvärdet. 

1. Faktorisera x² från täljare och nämnare. 

2. Vad händer med gränsvärdet om $\underset{x\to \infty }{\lim } \frac{1}{x^2}$?  

3. Förenkla uttrycket och svaret blir 3/2

Liten bonusuppgift på samma tema, vad blir:

$\displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2+1}}{2x}$ ?

Men nar jag tar ut x^× måste skriva absolut x ,|x|