Limes mot oändligheten

Nej, det du har gjort är att dividera täljaren med $\sqrt{x}$ och nämnaren med $x$.

Dividera även täljaren med x. Vad händer med denna term då du 'flyttar in' den under rottecknet?

Vad menar ni? Hur skulle jag ist göra?

Dividera BÅDE täljaren och nämnaren med x. Det betyder att du behöver dela med x² innanför rot-tecknet.

Ska man inte dela roten ur x med x? Eller måste man ta hela täljaren delat med x?

Lisa14500 skrev:

Ska man inte dela roten ur x med x? Eller måste man ta hela täljaren delat med x?

Om du delar nämnaren med $x$ så måste du även dela täljaren med $x$.

Men $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}\neq\sqrt{\frac{x^2}{x}+\frac{1}{x}}$.

Istället gäller det att $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\frac{\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2}}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}$

Jag hänger inte med på hur ni tänker när ni utför era beräkningar. Så tänker jag iallafall 

Båda 1/x kommer gå mot 0 så jag sätter de lika med 0

Ta det steg för steg så blir det kanske tydligare.

Du börjar med uttrycket

$\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1}$

Du borde dividera både täljare och nämnare med $x$ och du borde då få

$\frac{\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}}{\frac{2x-1}{x}}$.

Är du med på det?

Titta nu enbart på täljaren en liten stund.

Den är $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$

Felet du gör är att du bara "flyttar in" nämnaren $x$ under rotenur-tecknet utan att modifiera den, dvs du skriver $\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}$.

Men dessa två uttryck är inte identiska.

Dvs det gäller inte att $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}=\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}$

Varför går det inte att bara dela med x? Varför och när ska man ”modifiera” x :et när det är ett rottecken?

Lisa14500 skrev:

Varför går det inte att bara dela med x? Varför och när ska man ”modifiera” x :et när det är ett rottecken?

Om du multiplicerar in en faktor i ett rottuttryck så måste du kvadrera faktorn, annars förändrar du uttryckets värde.

Exempel:

Vi beräknar värdet av uttrycket $2\cdot\sqrt{9}$ på tre olika sätt:

1. Korrekt sätt: $2\cdot\sqrt{9}=2\cdot3=6$
2. Korrekt sätt: $2\cdot\sqrt{9}=\sqrt{2^2\cdot9}=\sqrt{4\cdot9}=\sqrt{36}=6$
3. Felaktigt sätt: $2\cdot\sqrt{9}=\sqrt{2\cdot9}=\sqrt{18}\approx4,2$

Som du ser så är uträkning 1 och 2 korrekta men uträkning 3 fel.

Uträkning 3 är fel eftersom jag där bara multiplicerade in faktorn 2 i rotuttrycket utan att först kvadrera den.

Fråga 1: Är du med på det?

När du likställer $\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$ med $\sqrt{\frac{x^2+1}{x}}$ så gör du precis samma fel som i uträkning 3, dvs du multiplicerar in faktorn $\frac{1}{x}$ i rotuttrycket utan att först kvadrera den.

Fråga 2: Är du med på det?

”Fråga 2 : är du med på det”

Så jag ska inte multiplicera med x utan måste multiplicera med roten ur x^2 för det är lika med x. Är det det du menar?

Varför svarar du inte på mina frågor?

Fråga 1 : ja jag är med på det 

fråga 2 : sådär , inte till 100%

Lisa14500 skrev:

Fråga 1 : ja jag är med på det 

fråga 2 : sådär , inte till 100%

OK tack för att du svarar på frågorna.

Det blir mycket enklare att hjälpa dig om jag förstår vad du hänger med på och vad du inte hänger med på.

Jag är nämligen så rysligt dålig på tankeläsning ;-)

Jag försöker nu förklara att det blir fel att multiplicera in faktorn 1/x som du har gjort:

Om du kallar $\frac{1}{x}$ för $a$ och $x^2+1$ för $b$ så kan uttrycket $\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x^2+1}$ skrivas $a\cdot\sqrt{b}$.

Fråga 1: Är du med på det?

Jag påstår att $a\cdot\sqrt{b}$ inte är lika med $\sqrt{a\cdot b}$

Fråga 2: Håller du med om det?

Jag påstår att $\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x^2+1}$ inte är lika med $\sqrt{\frac{1}{x}\cdot (x^2+1)}$

Fråga 3: Håller du med om det?

Fråga 1: Är du med på det? 

Ja det är jag med på! :)

Fråga 2 : Håller du med om det?

Ja. För roten ur (a*b) innebär att det från allra början är a^1/2 som multipliceras med b^1/2

Fråga 3 : Håller du med om det? 

Där fattar jag inte riktigt

Om du är med på att $a\cdot\sqrt{b}$ inte är lika med $\sqrt{a\cdot b}$ så borde du även vara med på att $\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x^2+1}$ inte är lika med $\sqrt{\frac{1}{x}\cdot (x^2+1)}$.

Om vi kallar $\frac{1}{x}$ för $a$ och $x^2+1$ för $b$ så är det ju precis samma sak.

Man kan sätta in något bra tal som x också och se vad det blir.

Ska det alltså vara?

Resultatet stämmer, men vägen dit stämmer inte.

Till att börja med skriver du lim h->0, men det ska väl vara lim $x$->$\infty$.

Sen gör du en algebraisk miss när du skriver att täljaren är $\frac{\sqrt{x^2}}{\sqrt{x^2}}+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Jag tror att du hoppar över för många räknesteg.

Så här ska det vara:

Uttrycket är $\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1}$

Vi multiplicerar både täljare och nämnare med $\frac{1}{x}$:

Uttrycket blir då $\frac{\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x^2+1}}{\frac{1}{x}\cdot (2x-1)}$

Vi förenklar nu täljaren och nämnaren var för sig.

Täljaren:

Eftersom $x$->$\infty$ så är $x>0$ och därför gäller att $x=\sqrt{x^2}$. Vi kan då skriva $\frac{1}{x}$ som $\sqrt{\frac{1}{x^2}}$.

Täljaren kan då skrivas $\sqrt{\frac{1}{x^2}}\cdot\sqrt{x^2+1}$

Vi kan nu använda räkneregeln $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ och vi får då

$\sqrt{\frac{1}{x^2}\cdot (x^2+1)}=$

$=\sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}}=$

$=\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}=$

$=\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$

Nu tittar vi på nämnaren:

$\frac{1}{x}\cdot (2x-1)=$

$=\frac{2x-1}{x}=$

$=\frac{2x}{x}-\frac{1}{x}=$

$=2-\frac{1}{x}$

Nu sätter vi ihop den förenklade täljaren och nämnaren, vilket ger oss uttrycket $\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2-\frac{1}{x}}$

Då $x$->$\infty$ så går detta uttryck mot $\frac{\sqrt{1+0}}{2-0}=\frac{\sqrt{1}}{2}=\frac{1}{2}$

Det känns bara rörigt för mig. Det känns inte att jag förstår. Från att du skriver ”så här ska det vara” så känns det inte som att jag hänger riktigt med. :(

OK då gör vi så här istället:

Visa steg för steg hur du tänkte och räknade när du kom fram till följande så kan jag försöka förklara i ett sammanhang där du känner igen dig: 

Nu blir det galet fel

Jag försöker hjälpa till här.
Målet är att kunna dividera i nämnare och täljare så att det blir termer som bara har x i nämnaren, så att den kvoten går mot 0 då x går mot oändligheten. Men vi måste göra samma operation både på täljaren och nämnaren.

Om vi multiplicerar med 1/x så tycks det fungera i nämnaren. Men i täljaren har vi ett rottecken som krånglar till det.

Vi försöker: $\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}·\sqrt{x^2+1}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}·(2x-1)}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x}}}·\sqrt{x^2+1}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}·(x^2+1)}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}$
Hänger du med på alla steg?

Så om det är ett roten tecken. Ska Man dela roten uttrycket med roten ur x^2?

Jag vet inte om man kan säga så generellt.
Men du ser nu att en x-term 'blir' $x^2$då den multipliceras in i ett rottecken

Lisa14500 skrev:

Så om det är ett roten tecken. Ska Man dela roten uttrycket med roten ur x^2?

Notering: Eftersom $x$ går mot positiva oändligheten så räknar vi här med att $x>0$.

Fråga 1. Är du med på att $x=\sqrt{x^2}$?

Fråga 2. Är du med på att $\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{x^2}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}$?

Fråga 3. Är du med på att $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$?

Fråga 4. Är du med på att det innebär att $\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x^2+1}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}\cdot\sqrt{x^2+1}=$

$=\sqrt{\frac{1}{x^2}\cdot (x^2+1)}=\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{1}{x^2}}$?

Ja det är jag med på. Däremot är jag inte helt med på varför man ska dela med 1/x istället för x.

Lisa14500 skrev:

Ja det är jag med på. Däremot är jag inte helt med på varför man ska dela med 1/x istället för x.

Jag delar inte med 1/x, jag multiplicerar med 1/x.

Att multiplicera med 1/x är samma sak som att dela med x.

Hej,

Du vill bestämma gränsvärdet

    $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1}.$

Om det existerar, vad borde gränsvärdet vara? Det handlar om vad som händer med kvoten när $x$ är ett mycket stort positivt tal.

• Om $x$ är ett mycket stort positivt tal så är täljaren $\sqrt{x^2+1}$ väsentligen samma tal som $\sqrt{x^2}$, som är lika med $x$.
• Om $x$ är ett mycket stort positivt tal så är nämnaren $2x-1$ väsentligen samma tal som $2x$.

Detta betyder att om $x$ är ett mycket stort positivt tal så är kvoten väsentligen samma tal som $\frac{x}{2x}$, som är lika med $\frac{1}{2}$.

Resultat: Gränsvärdet bör alltså vara lika med $\frac{1}{2}$. Frågan är nu om det går att visa detta ordentligt?

Ska man alltså dela uttrycket roten ur (x^2 +1) med roten ur x^2? Är det Yngve menar?

Lisa14500 skrev:

Ska man alltså dela uttrycket roten ur (x^2 +1) med roten ur x^2? Är det Yngve menar?

Js. Du delar täljaren med $x$. Men eftersom $x>0$ så är $x=\sqrt{x^2}$ och vi kan då välja att skriva om $x$ som $\sqrt{x^2}$.

Hej! Om jag stöter på liknande uppgifter med limes till oändlighet och sånt i framtiden,  vilka allmänna  saker bör jag tänka på, för att lösa sådana uppgifter? Är det att man alltid ska dela på x och få det ensamt vid ett bråkstreck?

Henning skrev:

Jag försöker hjälpa till här.
Målet är att kunna dividera i nämnare och täljare så att det blir termer som bara har x i nämnaren, så att den kvoten går mot 0 då x går mot oändligheten. Men vi måste göra samma operation både på täljaren och nämnaren.

Om vi multiplicerar med 1/x så tycks det fungera i nämnaren. Men i täljaren har vi ett rottecken som krånglar till det.

Vi försöker: $\frac{\sqrt{x^2+1}}{2x-1}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{x}}·\sqrt{x^2+1}}{{\displaystyle \frac{1}{x}}·(2x-1)}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x}\sqrt{x}}}·\sqrt{x^2+1}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{x^2}}·(x^2+1)}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}=\frac{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}}{2-{\displaystyle \frac{1}{x}}}$
Hänger du med på alla steg?

Se mina råd ovan - försök att få till termer med x i nämnaren
Som då går mot 0 då x går mot $\infty$