Limes

För att $\frac{1}{x}$ närmar sig 0 ju större värdet på x är. Om det känns konstigt, titta på grafen för y=1/x, och tänk till exempel vad som händer när man tar $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}$, ... osv. Därför kan man säga att.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

Och på samma sätt ersätter de 5/x och 1/x med 0 i ditt gränsvärde. I din förklaring gör de dock lite omständligt i och med att de verkar skriva om enligt $\frac{5}{x}=5\times x^{-1}$, och $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{-1}=0$.

$\frac{1}{x}$, x kommer växa till oändligheten och ju större x blir ju mindre kommer kvoten att bli. Detta kommer att närma sig 0 ju större x växer. Det blir inte exakt 0 men det kommer bli så litet att det kan betraktas som noll. Du kan testa detta med en miniräknare, testa stoppa in x =10,1000,1000000 osv så kommer du se hur extremt litet kvoten blir. Nu kan du tänka dig vad som händer om x blir oändligt stort istället.

Personligen hade jag tyckt att det vore lättare att skriva lösningen enligt

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{3-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)=\frac{3-0}{1+0}=3$

Tegelhus skrev:

För att $\frac{1}{x}$ närmar sig 0 ju större värdet på x är. Om det känns konstigt, titta på grafen för y=1/x, och tänk till exempel vad som händer när man tar $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}$, ... osv. Därför kan man säga att.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

Och på samma sätt ersätter de 5/x och 1/x med 0 i ditt gränsvärde. I din förklaring gör de dock lite omständligt i och med att de verkar skriva om enligt $\frac{5}{x}=5\times x^{-1}$, och $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{-1}=0$.

Tack! Jag förstår nu varför dem sätter in 0 men jag förstår fortfarande inte hur de löste ut det 

Tegelhus skrev:

Personligen hade jag tyckt att det vore lättare att skriva lösningen enligt

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{3-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)=\frac{3-0}{1+0}=3$

Fast hur fick du fram 3-0 och 1+0? Du kan ju inte dividera 5/0

Det gör du inte, du dividerar med 1, för att dividera med 0 måste ju hela nämnaren vara 0. 

Fysikguden1234 skrev:

Tegelhus skrev:

Personligen hade jag tyckt att det vore lättare att skriva lösningen enligt

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{3-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)=\frac{3-0}{1+0}=3$

Fast hur fick du fram 3-0 och 1+0? Du kan ju inte dividera 5/0

Man dividerar inte med 0, man dividerar med ett jättestort tal, och då blir resultatet så pass litet att man avrundar det till noll. Intuitivt skulle man kunna säga att man tar $\frac{5}{\infty }=0$ (även om det inte är korrekt rent matematiskt). Mer matematiskt korrekt utnyttjar jag att

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5}{x}=0$

vilket bygger på att ju större x man tar i divisionen, desto mer närmar det sig 0. Kolla vad som händer med funktionen när värdet på x ökar: https://www.desmos.com/calculator/qb38utwdbo

Edit: För att förtydliga återigen, det är hela uttrycken $\frac{5}{x}$ respektive $\frac{1}{x}$ jag ersätter med 0, inte x:en i sig.

Dracaena skrev:

Det gör du inte, du dividerar med 1, för att dividera med 0 måste ju hela nämnaren vara 0. 

Hmm, jag begriper tyvärr fortfarande inte hur 3-5/x = 3-0. Samma med nämnaren. Kan någon visa sina lösningssteg? 

Tegelhus skrev:

För att $\frac{1}{x}$ närmar sig 0 ju större värdet på x är. Om det känns konstigt, titta på grafen för y=1/x, och tänk till exempel vad som händer när man tar $\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000}$, ... osv. Därför kan man säga att.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}=0$

Och på samma sätt ersätter de 5/x och 1/x med 0 i ditt gränsvärde. I din förklaring gör de dock lite omständligt i och med att de verkar skriva om enligt $\frac{5}{x}=5\times x^{-1}$, och $\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{-1}=0$.

Och är det inte 1+1/x som närmar sig 0 ju större värdet på x är? Varför bara 1/x

Tegelhus skrev:

Fysikguden1234 skrev:

Visa föregående citat

Tegelhus skrev:

Personligen hade jag tyckt att det vore lättare att skriva lösningen enligt

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{3-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)=\frac{3-0}{1+0}=3$

Fast hur fick du fram 3-0 och 1+0? Du kan ju inte dividera 5/0

Man dividerar inte med 0, man dividerar med ett jättestort tal, och då blir resultatet så pass litet att man avrundar det till noll. Intuitivt skulle man kunna säga att man tar $\frac{5}{\infty }=0$ (även om det inte är korrekt rent matematiskt). Mer matematiskt korrekt utnyttjar jag att

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5}{x}=0$

vilket bygger på att ju större x man tar i divisionen, desto mer närmar det sig 0. Kolla vad som händer med funktionen när värdet på x ökar: https://www.desmos.com/calculator/qb38utwdbo

Edit: För att förtydliga återigen, det är hela uttrycken $\frac{5}{x}$ respektive $\frac{1}{x}$ jag ersätter med 0, inte x:en i sig.

Jaha, uppfattat! Men är inte 1+1/x med i uttrycket. Varför är det bara 1/x man ersätter och inte 1+1/x. Se min föregående kommentar 

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x-5}{x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} \cdot \frac{3- \frac{5}{x}}{1+ \frac{1}{x}}$
och alla termer som har formen k/x där k är en konstant kommer gå mot 0, dvs de försvinner bara eftersom att x kommer växa så stort att värdet på kvoten kommer vara oändligt lite ifrån att vara 0. kvar får vi då $1 \cdot \frac{3}{1} = 3$.

Hej,

Ett alternativt sätt att bestämma gränsvärdet är följande.

    $\displaystyle\frac{3x-5}{x+1} = \frac{3(x+1)-3+5}{x+1}=\frac{3(x+1)}{x+1} + \frac{2}{x+1} = 3 + \frac{2}{x+1}.$

Om $x$ är ett mycket stort positivt tal (vilket är innebörden av $x\to \infty$) så är kvoten

    $\frac{2}{x+1} \approx 0.$

Detta indikerar att det sökta gränsvärdet är $3+0 = 3$.

Fysikguden1234 skrev:

Tegelhus skrev:

Visa föregående citat

Fysikguden1234 skrev:

Tegelhus skrev:

Personligen hade jag tyckt att det vore lättare att skriva lösningen enligt

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{3-{\displaystyle \frac{5}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)=\frac{3-0}{1+0}=3$

Fast hur fick du fram 3-0 och 1+0? Du kan ju inte dividera 5/0

Man dividerar inte med 0, man dividerar med ett jättestort tal, och då blir resultatet så pass litet att man avrundar det till noll. Intuitivt skulle man kunna säga att man tar $\frac{5}{\infty }=0$ (även om det inte är korrekt rent matematiskt). Mer matematiskt korrekt utnyttjar jag att

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5}{x}=0$

vilket bygger på att ju större x man tar i divisionen, desto mer närmar det sig 0. Kolla vad som händer med funktionen när värdet på x ökar: https://www.desmos.com/calculator/qb38utwdbo

Edit: För att förtydliga återigen, det är hela uttrycken $\frac{5}{x}$ respektive $\frac{1}{x}$ jag ersätter med 0, inte x:en i sig.

Jaha, uppfattat! Men är inte 1+1/x med i uttrycket. Varför är det bara 1/x man ersätter och inte 1+1/x. Se min föregående kommentar 

För att 1+1/x närmar sig 1 och inte 0 när x närmar sig oändligheten. Tips: Titta på grafen för 1+1/x, se vad som händer i takt med att x blir större. Jämför med grafen för 1/x.

Edit: Anledningen till att jag väljer just 1/x för att ersätta är att det är det minsta uttrycket man kan bryta ut och ersätta, men ändå ger någonting vettigt. Jämför med om man bara skulle ersätta själva x:et i sig:

$\underset{x\to \infty }{\lim }x$

Detta ger ingenting av värde, eftersom x bara kommer att fortsätta öka och öka och aldrig närmar sig ett specifikt tal så är inte gränsvärdet definierat. Jämför

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{x}$

Eftersom $\frac{1}{x}$ närmar sig ett specifikt tal, närmare bestämt 0, när x går mot oändligheten så finns det ett gränsvärde. Därför ger detta faktiskt någonting användbart, att man kan ersätta 1/x med 0 i ditt ursprungliga gränsvärde.