lim x → ∞ (x^2(1+x^3)^(1/3)-x^3)

Om $x\to \infty$ är det inte MacLaurin som ska användas. Isf kan du först göra substitutionen:

$t=\frac{1}{x}$

En bra idé är att förlänga med rätt uttryck så att du får uttrycket på formen: $a^3-b^3$. Se sista uttrycket nedan: https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/algebra/tredjegradsbinom

Bryt ut $x^2$ och förläng sedan uttrycket med:

$a^2+ab+b^2$, där

$a=(1+x^3)^{\frac{1}{3}}$

$b=x$

Hej!

Om $x$ är ett stort positivt tal är $x^{-1}$ ett litet positivt tal och Maclaurinutveckling kan tillämpas på ett uttryck som involverar $x^{-1}$. 

    $x^2(1+x^3)^{1/3}-x^3 = x^{3}\cdot \{(1+x^{-3})^{1/3}-1\}.$

Maclaurinutveckling av funktionen $f(t) = (1+t)^{1/3}$ är $1+\frac{t}{3}-\frac{t^2}{9}+o(t^2)$ vilket ger uttrycket

    $\displaystyle x^3\cdot\{\frac{x^{-3}}{3}-\frac{x^{-6}}{9}+o(x^{-6})\} = \frac{1}{3}-\frac{x^{-3}}{9}+\frac{o(x^{-6})}{x^{-3}}.$

Detta uttryck närmar sig talet $1/3$ då det positiva talet $x$ växer obegränsat.

Med samma metodik kan man bestämma gränsvärdet för $x^2(1+x^{p})^{1/p}-x^3$ då $x\to\infty$, där heltalet $p\geq 3$.

Albiki skrev:

Med samma metodik kan man bestämma gränsvärdet för $x^2(1+x^{p})^{1/p}-x^3$ då $x\to\infty$, där heltalet $p\geq 3$.

Blir alltså allmänt $\frac{1}{p}$?

Inledning på min lösning:

$\lim_{x\to \infty} \frac{x^2(a-b)(a^2+ab+b^2)}{a^2+ab+b^2}=$

$\lim_{x\to \infty}\frac{x^2(a^3-b^3)}{a^2+ab+b^2}=$

$\lim_{x\to \infty}\frac{x^2(1+x^3-x^3)}{x^2(...)}=$

...

tomast80 skrev:

Albiki skrev:

Med samma metodik kan man bestämma gränsvärdet för $x^2(1+x^{p})^{1/p}-x^3$ då $x\to\infty$, där heltalet $p\geq 3$.

Blir alltså allmänt $\frac{1}{p}$?

Grafen till funktionen $f(t) = (1+t^{p})^{1/p}$ är väldigt platt i närheten av $t=0$ om $p>3$; samtliga derivator $f^{(n)}(0)=0$. Vad betyder det för Maclaurinutvecklingen?

Det borde rimligen innebära att gränsvärdet är lika med noll för $p\ge 4$?

Albiki skrev:

Hej!

Om $x$ är ett stort positivt tal är $x^{-1}$ ett litet positivt tal och Maclaurinutveckling kan tillämpas på ett uttryck som involverar $x^{-1}$. 

    $x^2(1+x^3)^{1/3}-x^3 = x^{3}\cdot \{(1+x^{-3})^{1/3}-1\}.$

Maclaurinutveckling av funktionen $f(t) = (1+t)^{1/3}$ är $1+\frac{t}{3}-\frac{t^2}{9}+o(t^2)$ vilket ger uttrycket

    $\displaystyle x^3\cdot\{\frac{x^{-3}}{3}-\frac{x^{-6}}{9}+o(x^{-6})\} = \frac{1}{3}-\frac{x^{-3}}{9}+\frac{o(x^{-6})}{x^{-3}}.$

Detta uttryck närmar sig talet $1/3$ då det positiva talet $x$ växer obegränsat.

Tack för tydligt förklarat!!

Välj ett $p>3$ och studera uttrycket $(p-1)\{x^{p-1}(1+x^p)^{1/p}-x^p\}$ för stora positiva tal $x.$ Vad verkar gränsvärdet vara då $x\to\infty$?

Albiki skrev:

Välj ett $p>3$ och studera uttrycket $(p-1)\{x^{p-1}(1+x^p)^{1/p}-x^p\}$ för stora positiva tal $x.$ Vad verkar gränsvärdet vara då $x\to\infty$?

Jag får det till:

$\displaystyle \frac{p-1}{p}=1-\frac{1}{p}$

tomast80 skrev:

Albiki skrev:

Välj ett $p>3$ och studera uttrycket $(p-1)\{x^{p-1}(1+x^p)^{1/p}-x^p\}$ för stora positiva tal $x.$ Vad verkar gränsvärdet vara då $x\to\infty$?

Jag får det till:

$\displaystyle \frac{p-1}{p}=1-\frac{1}{p}$

Hur får du det?

$(p-1)(x^{p-1}(1+x^p)^{1/p}-x^p)=$

$(p-1)(x^{p-1}(x^p(1+x^{-p}))^{1/p}-x^p)=$

$(p-1)x^p((1+x^{-p})^{1/p}-1)\approx$

(för stora värden på $x$)

$(p-1)x^p(1+\frac{1}{p}\cdot x^{-p}-1)=$

$(p-1)\cdot \frac{1}{p}=$

$1-\frac{1}{p}$

Det verkar stämma.

När jag lekte med funktionen $x^{p-1}(1+x^{-p})^{1/p}-x^p$ i Desmos fick jag indikationer att gränsvärdet var $\frac{1}{p-1}$ vilket var anledningen till multiplikationen med $(p-1)$; tanken var att gränsvärdet skulle bli $1$. 

Det avsedda gränsvärdet är alltså

    $1=\lim\limits_{x\to\infty}p\{x^{p-1}(1+x^p)^{1/p}-x^p\}$ för varje val av $p\geq 3$.

Snyggt! Stämmer väl även för $p=2$ och $p=1$?

Ja, när $p=1$ så råder likhet för alla $x$ och när $p=2$ ger kvadreringsregeln tillämpad på $(x-\sqrt{1+x^2})^2$ resultatet

    $x^2-2x\sqrt{1+x^2}+1+x^2=1-2\{x\sqrt{1+x^2}-x^2\}$

som närmar sig noll då $x$ växer.