Lim x to infty cost/lnx

I bocken har vi bara svaret, jag är inte säkert om lösningen själv. Hur beräknar en:

$\underset{x \to \infty}{l i m} \frac{\cos (x)}{\ln (x)}$

Mitt försök:

$\underset{x \to \infty}{l i m} \frac{\cos (x)}{\ln (x)} = \frac{\frac{\cos (x)}{x}}{\frac{\ln (x)}{x}}$

Enligt sandwich teorem: $\frac{- 1}{x} \leq \frac{\cos (x)}{x} \leq \frac{1}{x} \Leftrightarrow 0 \leq \frac{\cos (x)}{x} \leq 0$ när x går mot oändlighet.

$\frac{\ln (x)}{x}$ går också mot noll för att $x$ växer snabbare än sitt logaritm, så noll på noll = noll.

Duger det eller är det otillåtet att bevisa något med noll på noll?

Noll delat på noll är ju inte lika med noll. Om man får noll delat på noll går det inte att säga vad gränsvärdet blir, utan man måste jobba lite till.

Här finns det två sätt att tänka. Antingen kan man ju tänka så att $cos(x)$ inte växer alls (den är ju alltid mellan $-1$ och $1$ ), och alltså kommer $ln(x)$ att växa snabbare (även om det är långsamt) och göra så att gränsvärdet blir noll.

Antagligen vill uppgiften att man ska vara lite mer formell och använda instängingssatsen (sandwich theorem). Du var väldigt nära med din lösning, du skulle bara delat med $ln(x)$ istället för $x$ :

$-1\leq cos(x) \leq 1$

$\displaystyle \frac{-1}{ln(x)} \leq \frac{cos(x)}{ln(x)} \leq \frac{1}{ln(x)}$

Sedan faller svaret ut om du låter $x \rightarrow \infty$

Tack AlvinB, nu förstår jag, även om jag är inte med om skillnader i formalism!

Svara