Lim x-> 2

$\lim_{x\to 2}1+x+\dfrac{4}{(x-2)^2}$

När du närmar dig x=2, innebär det att kvoten växer över alla gränser, dvs $f(x)\to\infty$. Detta säger oss,att linjen x=2 är en lodrät asymptot.

dr_lund skrev:

$\lim_{x\to 2}1+x+\dfrac{4}{(x-2)^2}$

Det är precis de jag undrar över!

Har du möjlighet att visa?

Gör direktinsättning av x=2 i kvoten. Vi får noll i nämnaren. Signalerar om en lodrät asy.

dr_lund skrev:

Gör direktinsättning av x=2 i kvoten. Vi får noll i nämnaren. Signalerar om en lodrät asy.

Gissar att jag inte behöver ta hänsyn till x som då -> inf eftersom (x-2) är upphöjt till 2 och därmed växer snabbare än x. Men borde det inte gå att bevisa, skulle vilja göra det. 

Här är ett exempel från boken. 

För att få lite känsla för funktionen kan det vara nyttigt att manuellt låta x gå mot två.  Vi börjar med x=1.8 och går sedan närmare och närmare.

f(1.8)=102.8

f(1.9)=402.9

f(1.99)=40003

f(1.999)=4000000

Redan på avståndet 0.001 från x=2 har f(x) vuxit sig väldigt stor. Orsaken är att uttrycket (x-2) som finns i nämnaren går mot 0.

Vertikala asymptoter kan bara finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetetspunkter.

En vertikal asymptot kan INTE finnas i en punkt där funktionen är kontinuerlig.

Eftersom din funktion är diskontinuerlig i x=2 och dessutom går mot oändligheten i just denna punkt har du en vertikal asymptot i x=2.

Definition av oegentligt gränsvärde:

$f(x)\to\infty$ då $x\to a$ om det för varje tal M finns ett tal $\delta >0$ så att $f(x)>M$ med

$0<|x-a|<\delta$.

Jroth skrev:

För att få lite känsla för funktionen kan det vara nyttigt att manuellt låta x gå mot två.  Vi börjar med x=1.8 och går sedan närmare och närmare.

f(1.8)=102.8

f(1.9)=402.9

f(1.99)=40003

f(1.999)=4000000

Redan på avståndet 0.001 från x=2 har f(x) vuxit sig väldigt stor. Orsaken är att uttrycket (x-2) som finns i nämnaren går mot 0.

Vertikala asymptoter kan bara finnas bland definitionsmängdens ändpunkter och bland diskontinuitetetspunkter.

En vertikal asymptot kan INTE finnas i en punkt där funktionen är kontinuerlig.

Eftersom din funktion är diskontinuerlig i x=2 och dessutom går mot oändligheten i just denna punkt har du en vertikal asymptot i x=2.

Jo att de går mot oändligheten och som du skriver fattar jag. Problemet är att jag skulle vilja bevisa det typ genom instängning eller något liknande och verkligen bevisa det. På en tenta hade det inte räkt att visa "manuellt" utan bevis krävs ibland för poäng.

dr_lund skrev:

Definition av oegentligt gränsvärde:

$f(x)\to\infty$ då $x\to a$ om det för varje tal M finns ett tal $\delta >0$ så att $f(x)>M$ med

$0<|x-a|<\delta$.

Det är så som du skriver som det står i boken, men det är just hur jag använder det jag skulle vilja ha hjälp med. Så om någon som förstår hade kunnat använda det i just detta exempel så att jag på så vis också kanske fattar vad som egentligen står i boken, hade jag varit väldigt tacksam! Det är inget som krävs för denna extenta som jag har löst. Jag använder denna bara som exempel för vad det är jag inte förstår i läroboken och jag tänker om någon kan visa hur jag använder det i denna uppg så kanske jag kan förstå det som står i boken. Inveklat, men jag förstår bäst genom att räkna inte genom bokens text som jag bara blir hjärntrött av. Kan någon visa hur man använder det som står i boken kanske jag kan fatta innebörden.

$f(x)=\dfrac{x^3-3x^2+8}{(x-2)^2}$ efter omskrivning på gemensam nämnare.

Om du gör direktinsättning av x=2 i bråket, får du $\dfrac{4}{0}$.

Notera att gränsvärdet $\lim_{x\to 2}f(x)$ inte existerar (ändligt).

I det praktiska räknandet, är detta oftast tillräcklig motivering.

Om du vill använda definitionen, måste man ofta uppskatta täljaren. Det kan vara lite trixigt.

dr_lund skrev:

$f(x)=\dfrac{x^3-3x^2+8}{(x-2)^2}$ efter omskrivning på gemensam nämnare.

Om du gör direktinsättning av x=2 i bråket, får du $\dfrac{4}{\infty}$

Jo det fattar jag med, men jag skulle vilja förstå hur man bevisar det. Tex på det sätt du skrev om tidigare. På en tenta räcker det inte med att täljaren är en konstant och att nämnaren går mot noll vilket gör att allt går mot oändligheten, det fattar jag, men behöver kunna bevisa det och det är det jag behöver lära mig. Hade någon kunnat visa hur man bevisar hade jag varit väldigt tacksam. Det vill säga med riktigt exempel. 

Alternativt, om du jobbar med $f(x)=1+x+\dfrac{4}{(x-2)^2}$. Vi vet att då x>2, så gäller 1+x >3, dvs

$f(x)>3+\dfrac{4}{(x-2)^2}$. Kanske denna tanke kan leda dig nånvart?

Louiger skrev:

Problemet är att jag skulle vilja bevisa det typ genom instängning eller något liknande och verkligen bevisa det. På en tenta hade det inte räkt att visa "manuellt" utan bevis krävs ibland för poäng.

Enligt räknereglerna för gränsvärden är

$lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2} \left(1+x+\frac{4}{(x-2)^2} \right ) = \lim_{x\to 2} (1)+ \lim_{x\to 2} (x)+\lim_{x\to 2}(\frac{4}{(x-2)^2})$

$lim_{x\to 2} f(x) = 1+2 + lim_{x\to 2} (\frac{4}{(x-2)^2})$

Som dr_lund påpekade gör den sista termen att hela f(x) eventuellt antar ett oegentligt gränsvärde eftersom $\infty$ inte är ett tal, något vi gör en stor sak av genom att undvika lim\lim-beteckningen.

Den sista termen kan eventuellt hanteras trivialt om vi känner till regeln att

$\frac{1}{g(x)}\to\infty$ då $x\to x_0$ om $g(x)>0$ och $g(x)\to 0$ då $x\to x_0$

Känner man inte till räknereglerna för oegentliga gränsvärden kan man bevisa att det till varje tal M finns ett tal $\delta>0$ sådant att $f(x)>\frac{4}{(x-2)^2} >M$ för alla de x i $D_f$ i en omgivning runt 2 för vilka $|x-2|<\delta$

I en omgivning runt 2, gäller nämligen för varje tal M att $\frac{4}{(x-2)^2}>\frac{1}{(x-2)^2}>M$ så länge vi håller avståndet $|x-2|<\frac{1}{\sqrt{M}}$, dvs vårt $\delta(M)$.