lim (tan(x-pi))/x as x -> 0

Det är väl i princip korrekt, men det blir ju som sagt inte riktigt matematiskt korrekt. Men för att införa lite formalism, det vi använder är att om

$$\begin{gathered} \underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}A \\ \underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}B \end{gathered}$$

där A och B är reella tal så gäller det att

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)\hspace{0.17em}=AB$

För att visa hur detta används så har vi att

$$\begin{gathered} \underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan (x - \pi )}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \mathrm{\pi }}{\displaystyle )}}{\cos {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \mathrm{\pi }}{\displaystyle )}{\displaystyle \mathrm{x}}}=\left\{Satsen\right\} \\ =\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin {\displaystyle (}{\displaystyle x}{\displaystyle }{\displaystyle -}{\displaystyle }{\displaystyle \mathrm{\pi }}{\displaystyle )}}{x}\right)\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{\cos (x - \mathrm{\pi })}\right) \\ =-1·(-1) =\hspace{0.17em}1 \end{gathered}$$

Där jag skrivit {Satsen} så används den sats jag skrev i början, där $f\left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\frac{\sin (x-\mathrm{\pi })}{x}$ och $g\left(x\right) = \frac{1}{\cos (x-\mathrm{\pi })}$. Notera alltså att vi inte skulle kunna gjort samma sak och säga att $\sin(x - \pi)$ går mot $0$, eftersom hur skulle våran uppdelning av $f$ och $g$ se ut så att A och B är reella tal?

Bra tankar, otillfredsställande förklaring (eftersomdu inte har skrivit ut lim etc i varje steg).

Visst, sin x går mot 0, och x går mot 0, men det är inte någonting som säger att de gör det lika fort. Däremot är lim (sin x)/x när x -> 0 ett standardgränsvärde du borde kunna använda dig av.