Lim svår uppgift

Kan du beräkna enbart gränsvärdet

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^3 + 2} - \ln(x)}{x + 1}$

Stokastisk skrev :

Kan du beräkna enbart gränsvärdet

$\lim_{x\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{x^3 + 2} - \ln(x)}{x + 1}$

Jag fick svaret $\frac{\infty }{1}=\infty$

Jag gjorde så här:

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\displaystyle \frac{\sqrt{x^3+2}}{x}}-{\displaystyle \frac{\ln \left(x\right)}{x}}}{1+{\displaystyle \frac{1}{x}}}$

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1+\frac{2}{x^3}} \\ \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{2}}=\infty \\ \underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{1+\frac{2}{x^3}}=\sqrt{1+0}=1 \end{gathered}$$

$\infty \times 1 = \infty$

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln \left(x\right)}{x}=0$

$\infty -0=\infty$

--

$$\begin{gathered} \underset{x\to \infty }{\lim }1+\frac{1}{x}=1+0=1 \\ \frac{\infty }{1}=\infty \end{gathered}$$

--

sedan $arc\tan (\infty )$

hur kan jag veta att $arc\tan (\infty )=\frac{\mathrm{\pi }}{2}$? finns det en förklaring?

Du har väl i stora drag tänkt rätt, men $\infty$ är inget du kan räkna med på det där sättet.

Hursomhelst, man vet att $\lim_{x\rightarrow\infty} \arctan(x) = \pi/2$ genom att kolla på hur det är definierat. Det gäller att $\arctan$ är inversen till $\tan$ begränsat till domänen $(-\pi/2 \pi/2)$. Så om du bara kollar vad $x$ ska gå mot (kalla detta för $\x_0$) för att $\tan(x)$ ska gå mot $\infty$ så har man att $\lim_{x\rightarrow\infty} \arctan(x) = x_0$.