Lim n-> ♾ a^n/n! =0

a kan vara hur enorm den vill, förr eller senare så blir n större än a, och sedan ännu större, osv.

Jag vet inte hur man visualiserar det bra. Man kan ju rita upp en funktion av n.

Det går att få kvoten hur liten som helst, om man bara väljer $n$ tillräckligt stort; täljaren är inte mindre än nämnaren för alla $n$, bara för nästan alla $n$.

Som en process kan det vara lite lättare att resonera kring om man logaritmerar den

$\ln(a^n / n!) = n \ln(a) - ln(n!) = n \ln(a) - (\ln(1) + ln(2) + ... + \ln(n))$

För varje steg där vi gör n större $n \to n + 1$ så får vi en ny term av $\ln(a)$ och en negativ term $$\ln(n  +  1)$$

När $n>a$ så blir minus-termerna som kommer från fakulteten börja bli större än plus-termerna som kommer från $\ln(a)$ så uttrycket minskar i värde med en större och större steg. Logaritmen av uttrycket går alltså mot $\infty$ och man kan inse att vi får något som konceptuellt motsvarar $e^{-\infty} = 0$.

Man skriver alltså 

    $\displaystyle \ln \frac{a^n}{n!} = (\ln a - \ln 1)+(\ln a-\ln 2) + (\ln a-\ln 3) + \cdots + (\ln a - \ln n).$

Om $a=3$ kommer de $3$ första termerna vara positiva tal och resterande termer negativa tal, eftersom logaritmfunktionen är strängt växande. Om $n$ är tillräckligt stort kommer summan av de negativa termerna att dominera över summan av de positiva termerna, så att logaritmen $\ln \frac{a^n}{n!}$ blir ett negativt tal, vilket motsvaras av att kvoten $\frac{a^n}{n!}$ ligger i intervallet $(0,1)$

Tack så mycket alla har just gjort en tenta och behöver några dagas andrum innan jag fortsätter ❤️

Råkade tänka fel i det här inlägget;
naturligtvis innebär inte gränsvärdet 0 tvunget att varenda term på vägen dit är mindre än den föregående termen.

Nej, det betyder inte att talföljden är avtagande; den skulle exempelvis kunna oscillera med mindre och mindre amplitud; gränsvärdet skulle fortfarande kunna vara noll. 

Peter: lägg tillbaka ditt ursprungliga inlägg som jag adresserade min kommentar till. 

Peter1986 skrev:

Råkade tänka fel i det här inlägget;
naturligtvis innebär inte gränsvärdet 0 tvunget att varenda term på vägen dit är mindre än den föregående termen.

Peter1986, det stå ri Pluggakutens regler att man inte får ta bort eller "redigera ihjäl" ett inlägg som har blivit besvarat (däremot är det OK att exempelvis stryka över det som var fel och skriva en kommentar om det). Som det är nu hänger Albikis inlägg i luften, efterso du har tagit bort det som Albiki syftade på. Det gör att tråden blir rörig och i värsta fall oanvändbar /moderator

Problem med formateringen.

Det enklaste är nästan om vi väljer ett specikt stort värde på konstanten $a$ och ser vad som händer.

Vi kan ju börja lite försiktigt med något lite sådär småstort tal, t.ex. $a=100$. När vi nu låter $n$ genomlöpa de positiva heltalen kommer vi få en talföljd som börjar så här:

$\displaystyle\frac{100}{1},$

$\displaystyle\frac{100\cdot 100}{1\cdot 2},$

$\displaystyle\frac{100\cdot 100\cdot 100}{1\cdot 2\cdot 3},\ldots$

Det är lätt att se att talföljden växer, och att den växer kraftigt eftersom täljaren snabbt blir oerhört mycket större än nämnaren. Ännu tydligare blir detta om man skriver om bråken i decimalform med hjälp av räknaren, eller naivt låter Wolfram Alpha plotta de första elementen i följden, t.ex. så här.

Är man lite slarvig skulle man utifrån detta lätt kunna dra slutsatsen att loppet mellan täljaren och nämnaren är kört för nämnarens del, och att talföljden kommer divergera. Men icke! Fakulteten i nämnaren må vara trög i starten, men när den väl kommer igång, då jäklar händer det grejer! :D

Låt oss kolla hur läget ser ut vid $n=100$. Då har vi bråket

$\displaystyle \frac{100^{100}}{100!}=\frac{100\cdot 100\cdots 100}{1\cdot 2\cdots 100}=\frac{100}{1}\cdot\frac{100}{2}\cdots\frac{100}{100}$

vilket ju är ett fruktanvärt stort tal (ungefär $10^{42}$ enligt Wolfram Alpha). Men redan vid $n=101$ händer nu något intressant. Bråket vi får då är

$\displaystyle\frac{100^{101}}{101!}=\frac{100\cdot 100\cdots 100\cdot {\color{blue}100}}{1\cdot 2\cdots 100\cdot{\color{blue}101}}=\frac{100}{1}\cdot\frac{100}{2}\cdots\frac{100}{100}\cdot {\color{blue}\frac{100}{101}}\,,$

dvs. samma som för $n=100$ fast alltihop multiplicerat med "förändringsfaktorn" $100/101\approx 0.99$, vilket ju leder till en minskning på ca. 1%. Ingen stor minskning, men ändock en minskning. Bråket som helhet är förstås fortfarande gigantiskt stort (fortfarande typ $10^{42}$), men den som kan sin matematik inser att dett bara kommer gå utför härifrån, och att innan dagen är slut som kommer bråket ha tappat allt sitt värde och vara nere under $10^{-42}$ (notera minustecknet!).

Innan vi vet ordet av ser ner nämligen bråket ut så här:

$\displaystyle\frac{100\cdot 100\cdots 100\cdot {\color{blue}100\cdot 100\cdots 100 }}{1\cdot 2\cdots 100\cdot{\color{blue}101\cdot 102\cdots 200}}$

och lite senare så här:

$\displaystyle\frac{100\cdot 100\cdots 100\cdot {\color{blue}100\cdot 100\cdots 100 }}{1\cdot 2\cdots 100\cdot{\color{blue}101\cdot 102\cdots 10000}}$

och om vi fortsätter så här förr eller senare övertaget som den svarta biten gav täljaren jämfört med nämnaren vara försumbart. Detta är också precis vad vi ser om vi säger åt Wolfram Alpha att gå vidare och plotta bråkets värde för lite högre värden på $n$, t.ex. så här.

Men okej, nu gällde ju frågan vad som händer om vi väljer ett gigantiskt värde på $a$, snarare än ett lite småstort värde som $a=100$. Men det är i princip samma sak som kommer hända. För små värden på $n$ (alltså $n<a$) kommer täljaren växa snabbare än nämnaren och bygga upp ett rejält övertag, men förr eller senare kommer fakulteten i nämnaren att börja växa snabbare, komma ifatt och till slut vinna racet med hästlängder, så att gränsvärdet blir 0.

Något att undersöka: För vilket värde på $n$ kör nämnaren om täljaren när $a=100$? Vad händer om $a=100\,000$ i stället? Kan Wolfram Alpha ens svara på detta? 

oggih skrev:

Det enklaste är nästan om vi väljer ett specikt stort värde på konstanten $a$ och ser vad som händer.

Vi kan ju börja lite försiktigt med något lite sådär småstort tal, t.ex. $a=100$. När vi nu låter $n$ genomlöpa de positiva heltalen kommer vi få en talföljd som börjar så här:

$\displaystyle\frac{100}{1},$

$\displaystyle\frac{100\cdot 100}{1\cdot 2},$

$\displaystyle\frac{100\cdot 100\cdot 100}{1\cdot 2\cdot 3},\ldots$

[ - - - ]

---

Men okej, nu gällde ju frågan vad som händer om vi väljer ett gigantiskt värde på $a$, snarare än ett lite småstort värde som $a=100$. Men det är i princip samma sak som kommer hända. För små värden på $n$ (alltså $n<a$) kommer täljaren växa snabbare än nämnaren och bygga upp ett rejält övertag, men förr eller senare kommer fakulteten i nämnaren att börja växa snabbare, komma ifatt och till slut vinna racet med hästlängder, så att gränsvärdet blir 0.

---

Något att undersöka: För vilket värde på $n$ kör nämnaren om täljaren när $a=100$? Vad händer om $a=100\,000$ i stället? Kan Wolfram Alpha ens svara på detta? 

Tack så otroligt mycket! 

Jag undrar om denna:

Är ment som en graf som denna här under  och varför får jag ett annat resultat då?

eller missuppfattar jag?

Oggihs inlägg är lagt inom citattecken, samt förkortat, och bildernas storlek är minskade, så att ditt inlägg inte blir evighetslångt. // Smutstvätt/Pepparkvarn, moderator

Luna skrev:

Är ment som en graf som denna här under och varför får jag ett annat resultat då?

eller missuppfattar jag?

Nejdå, du gör helt rätt, men dels har du en ganska orimlig skala på $y$-axeln för den här funktionen ;) och dels verkar det som att Desmos inte klarar av att hantera bråk med så oerhört stora nämnare och täljare som vi får här. Så även om värdet på bråket som helhet egentligen blir ganska hanterbart för stora $x$ så klarar Desmos inte av att räkna ut det.

Ett tips för att hjälpa grafritaren på traven skulle kunna vara att logaritmera hela skiten (och eventuellt göra lite förenklingar). Vad får du då? Är det något som Desmos kan hantera, eller som du åtminstone själv kan plotta ganska enkelt med typ Python (matplotlib), Octave eller Matlab?

oggih skrev:

Luna skrev:

Är ment som en graf som denna här under och varför får jag ett annat resultat då?

eller missuppfattar jag?

Nejdå, du gör helt rätt, men dels har du en ganska orimlig skala på $y$-axeln för den här funktionen ;) och dels verkar det som att Desmos inte klarar av att hantera bråk med så oerhört stora nämnare och täljare som vi får här. Så även om värdet på bråket som helhet egentligen blir ganska hanterbart för stora $x$ så klarar Desmos inte av att räkna ut det.

Ett tips för att hjälpa grafritaren på traven skulle kunna vara att logaritmera hela skiten (och eventuellt göra lite förenklingar). Vad får du då? Är det något som Desmos kan hantera, eller som du åtminstone själv kan plotta ganska enkelt med typ Python (matplotlib), Octave eller Matlab?

Aaa okej!

Hur gör jag när jag logaritmers uttrycket?

vad innebär det?

spännande

Du skulle kunna plotta y=log(100^x/x!), eller om du använder logaritmlagarna: y=x*log(100)-log(x!).

Notera att Desmos fortfarande kommer behöva räkna ut x!, men att vi vart fall slipper den gigantiska täljaren.

Detta med att logaritmera är för övrigt ett ganska vanligt trick som man använder när man vill plotta tal med väldigt varierande storleksordning (i ditt fall har du ju alltifrån 0 till 10^42) eftersom logaritmen "trycker ihop" y-axeln mer och mer, ju högre upp man kommer.

Väljer du 10-logaritmen (kolla upp hur man gör det i Desmos) så kommer du kunna tolka värdet på y-axeln som just storleksordningen, dvs. exponenten om talet skulle skrivas som en tiopotens. Vi förväntar oss då värden som som mest kommer gå upp mot 42 (och som lägst kommer gå ner mot minus oändligheten). Om Desmos klarar av själva beräkningen, så kommer vi alltså kunna se vändpunkten vid x=100 ganska tydlig

Prova och se om det fungerar! :D