Lim med e

Det enklaste mekaniskt är nog att serieutveckla exponentialfunktionerna och använda metoder från polynom och är vad jag skulle gjort i envariabelanalysen.

En annan lite firnuligare är att se täljare och nämnare som polynom i exp(-x) och faktorisera dem, enligt.

$x^3-1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)$

$x^4 -1 = (x- 1)(x + 1)(x^2 + 1)$

Och stryka gemensamma faktorer.

Ett tredje vis är att jämföra med standardgränsvärden. Om kvoten förlängs med 3/4 * (4x) / (3x) så kan man para några av faktorerna så att man får standardgränsvärden på formen (e^x - 1)/x

$y=e^x$ ger

$\frac{y^3-1}{y^4-1}$

Om man nu kommer ihåg konjugatregeln så är saken biff

$(y^3-1)=(y-1)(y^2+y+1)$

$(y^4-1)=(y^2-1)(y^2+1)=...$

------------------------------------------------------------------------

Om ni har lärt er l'Hospitals regel när du har uttryck som ger "0/0" eller "oändligheten/oändligheten" kan du testa att derivera såväl täljare som nämnare var för sig och sätta in värdet på x.

$\frac{3e^{3x}}{4e^{4x}}=[x=0]=\frac{3}{4}$

Det finns en anledning till att täljare och nämnare är $e^{ax}-1$ och inte $e^{ax}-2$ eller något annat: Talet 1 är samma sak som $e^{0}$.

Kvoten kan därför skrivas 

     $\displaystyle \frac{e^{3x}-e^{0}}{3x-0}/\frac{e^{4x}-e^{0}}{4x-0}$.

Jämför sedan gränsvärdet med derivator till funktionerna $e^{3x}$ och $e^{4x}$.

Tack! Det är mycket att fundera på!

@Serious: du skrev:

Det enklaste mekaniskt är nog att serieutveckla exponentialfunktionerna och använda metoder från polynom och är vad jag skulle gjort i envariabelanalysen.

Hmm hur menar du :)?

@Guggle: jag tar l'Hôpital regel! För en gångskull har vi franskpersonner gjort nåt bra...

@Albiki: jag tänker fortfarande! Menar du jag måste derivera separat $\frac{e^{3x}-e^0}{3x-0}$ och $\frac{e^{4x}-e^0}{4x-0}$?

EDIT: varför fungerar faktorisering?? Kan vi bara ignorera e?

Med serieutveckling, kanske man även kunde kalla det serieutvecklingsmetoden, så menar jag att man expanderar sina funktioner

$e^{kx} = 1 + (kx) + \frac{1}{2!}(kx)^2 + \frac{1}{3!}(kx)^3 + ...$

och sedan trunkerar serien vid någon gräns, i det här fallet eller så skriver man med 

$e^{kx} \approx 1 + (kx)$ (eller så skriver man med Ordonotation $e^{kx} =1 + (kx) + O(x^2)$

Där denna approximation är "exakt" när x är väldigt litet

Så

$\frac{e^{3x} - 1}{e^{4x} - 1} = \frac{1 + 3x - 1}{1 + 4x - 1} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$ där approximationen blir exakt i gränsen.

Funktionellt är detta ekvivalent med LHopitals regel.

Om faktorisering

Man kan kontextualisera faktoriseringsargumentet på två sätt. Det ena är att man gör ett variabeltbyte

att man definierar $y = e^x$ och identifierar $x \to 0 \equiv y \to 1$ och 

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - 1}{e^{4x} - 1} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^{x})^3 - 1}{(e^{x})^4 - 1} = \lim_{y \to 1}\frac{y^3 - 1}{y^4 - 1}$

och därefter faktoriserar. Det andra är att man utför faktoriseringarna utan variabelbytet men det kan vara svårare att se detta utan att först göra kopplingen mellan exponentialfunktionerna och polynom

$\lim_{x \to 0}\frac{(e^{x})^3 - 1}{(e^{x})^4 - 1}$

$\lim_{x \to 0}\frac{(e^{x} - 1)(e^{2x} + e^x + 1)}{((e^{x})^2 - 1)((e^{x})^2 + 1)}$

$\lim_{x \to 0}\frac{(e^{x} - 1)(e^{2x} + e^x + 1)}{(e^{x} - 1)(e^{x} + 1)((e^{x})^2 + 1)}$

Tack och förlåt för sent svar! Hade prov igår så jag fokuserade på det!

SeriousCephalopod skrev:

Med serieutveckling, kanske man även kunde kalla det serieutvecklingsmetoden, så menar jag att man expanderar sina funktioner

$e^{kx} = 1 + (kx) + \frac{1}{2!}(kx)^2 + \frac{1}{3!}(kx)^3 + ...$

och sedan trunkerar serien vid någon gräns, i det här fallet eller så skriver man med 

$e^{kx} \approx 1 + (kx)$ (eller så skriver man med Ordonotation $e^{kx} =1 + (kx) + O(x^2)$

Där denna approximation är "exakt" när x är väldigt litet

Så

$\frac{e^{3x} - 1}{e^{4x} - 1} = \frac{1 + 3x - 1}{1 + 4x - 1} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$ där approximationen blir exakt i gränsen.

Funktionellt är detta ekvivalent med LHopitals regel.

Jag tror inte att jag har sett detta utveckling än. Det är inte definitionen för $e$, $(1+\frac1n)^{n}$ som du utvecklar eller? Ordonation är jag inte bekant med heller men jag tror att jag förstår från kontexten att det är ett rum där du stokerar allt som inte behövs?

Om faktorisering

Man kan kontextualisera faktoriseringsargumentet på två sätt. Det ena är att man gör ett variabeltbyte

att man definierar $y = e^x$ och identifierar $x \to 0 \equiv y \to 1$ och 

$\lim_{x \to 0}\frac{e^{3x} - 1}{e^{4x} - 1} = \lim_{x \to 0}\frac{(e^{x})^3 - 1}{(e^{x})^4 - 1} = \lim_{y \to 1}\frac{y^3 - 1}{y^4 - 1}$

och därefter faktoriserar. Det andra är att man utför faktoriseringarna utan variabelbytet men det kan vara svårare att se detta utan att först göra kopplingen mellan exponentialfunktionerna och polynom

$\lim_{x \to 0}\frac{(e^{x})^3 - 1}{(e^{x})^4 - 1}$

$\lim_{x \to 0}\frac{(e^{x} - 1)(e^{2x} + e^x + 1)}{((e^{x})^2 - 1)((e^{x})^2 + 1)}$

$\lim_{x \to 0}\frac{(e^{x} - 1)(e^{2x} + e^x + 1)}{(e^{x} - 1)(e^{x} + 1)((e^{x})^2 + 1)}$

 Tackar, det förstår jag. Väldigt finurlig med variabelbyte. Och exotisk kubregel!

Kolla igenom härledningen av serieutveckningen för $e^x$ enligt länken nedan. Sedan kan du bara göra en substitution $x=at$ där $a$ är en konstant så har du det på formen som efterfrågas i uppgiften.

http://www.songho.ca/math/taylor/taylor_exp.html

Okay: så vi kör en ryskadockor-utveckling med derivator av en exponential funktion... Allt som blir för liten kasseras bort insidan variabel $O$. Typ.

Jag har inte kommit så lång i bocken än, så vet inte än varför det behövs $f'', f'''$ när l'hôpital med en enda derivata räcker ;). (Jag skojas, du behöver inte svara på det, jag vet nog att det måste vara nödvändig!)