Liknande integraler olika svar

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{1 + x^{n}} = 0$

Gäller bara på intervall $[a,\infty]$ där $a > 1$

Samtidigt som funktionen plattas ut för punkter $x > 1$ så växer funktionen i en omgivning nära $x = 1$

Specifik så blir ju 

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{1 + x^{n}} = \infty$ för $x = 1$

Då du har en divergens i ena änden av intervallet $[1,\infty)$ och konvergens mot 0 i andra så har du två effekter som drar integralens värde i olika riktningar. Det visar sig alltså att du inte kan ignorera effekterna nära x = 1.

Har du svårt att visualisera detta så kan du se på den här grafen: https://www.desmos.com/calculator/ntvlig7r3u 

Missförstod frågan.

Ser nu att samma sak händer med den andra funktionen om jag tar in lim först. Men borde jag inte få det i en konvergent integral? 🤔

Byta plats på integration och gränsvärde är bara något man kan göra under vissa ganska snäva villkor och är faktiskt olika beroende på vilken typ av integral man jobbar med (Lebesgue, Riemann, osv).

Ser nu att samma sak händer med den andra funktionen om jag tar in lim först. Men borde jag inte få det i en konvergent integral? 🤔

Jag har inte kriterierna framför mig men i regel kan man inte ta in det. Som första integralen illustrerar så får man olika resultat.

I regel är det säkert så länge integrationsintervallet är begränsat, dvs inte går till oändligheten, och funktionens värden på det intervallet är begränsat. Men sker något underligt i intervallets kanter eller om intervallet är obegränsat så har man ingen garanti för att det ska fungera. 

Ah, jag hade blandat ihop några av kraven ser jag. Det är som du sa först, den bara växer nära 1. Tack!