likformigt accelererad rörelse

Jag skulle gissa att man kan göra så här men är inte helt säker. Andra får gärna verifiera detta:

Du har formeln för hur långt något t.ex. faller om ett objekt påverkas av en utgångshastighet (V:s y-komposant) samt av en acceleration under en viss tid. I vårt fall är det ju g=9,82 m/s^2:

$s=v_{0}t+\frac{a{t}^2}{2}$
Sedan kan hastigheten för ett objekt som fallit h-meter härledas till $v=\sqrt{2gh}$ m.h.a energibevaring.
I vårt fall kan vi anta att utgångshastigheten för blocket inför den sista fjärdedelen av sträckan är $v_0=\sqrt{2g\frac{3}{4}s}$ eftersom blocket hunnit falla tre fjärdedelar av klippans höjd som vi kallar s ($h=\frac{3}{4}s$).  För $\frac{1}{4}s$ gäller då detta om vi insätter allt i till samma formel:

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}s=v_{0}t+\frac{g{t}^2}{2}= \\ \sqrt{2g\frac{3}{4}s}*t+\frac{g{t}^2}{2} \end{gathered}$$

Lös ut s ur denna formel med t=1. Eftersom $v_0$och g är både riktade nedåt kan vi skippa - tecken men komma ihåg att en sträcka måste vara positiv.

$\frac{1}{4}s=\sqrt{2g\frac{3}{4}s}*t+\frac{g{t}^2}{2}$

Jag tänker på följande sätt: Klippblockets rörelse kan betraktas som ett fritt fall, då gäller formeln $h=\frac{g{t}^2}{2}$. Om h är den totala höjden som blocket faller så kan 0,25h beskriva den sista fjärdedelen av fallet. Då blir ekvationen $0,25h=\frac{g{t}^2}{2}$.

Denna ekvation har lösningen t = 1, som ger att $0,25h=\frac{g·1^2}{2}\iff 0,25h=\frac{g}{2}\iff 0,5h=g\iff h=\frac{g}{0,5}=\frac{9,82}{0,5}=19,64 m\approx 20 m$

Nej det stämmer inte att h $\approx$ 20 meter, vilket vi kan inse om vi kontrollerar hur lång tid fallet då skulle ta totalt (ungefär 2 sekunder).

Du kan istället tänka så här:

Eftersom det är fritt fall, dvs konstant acceleration så gäller att stenens positition $s$ som funktion av tiden $t$ är $s(t)=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$.

Om vi lägger in koordinatsystemet så att stenen börjar i origo och positiv $s$-riktning är nedåt så får vi att $s_0=0$ m, $v_0=0$ m/s. Vi räknar med $a=10$ m/s^2..

Vi får då $s(t)=\frac{10t^2}{2}=5t^2$

Om vi säger att den sista fjärdedelen av fallet påbörjas vid $t=t_1$ och avslutas vid $t=t_2$ så får vi 

$s(t_1)=5{t_1}^2$

$s(t_2)=5{t_2}^2$

Eftersom vi vet att $\frac{s(t_1)}{s(t_2)}=\frac{3}{4}$ och att $t_2-t_1=1$ så kan vi lösa ut t.ex. $t_2$ och därefter beräkna $s(t_2)$.

Visa dina försök och be om hjälp om du kör fast.

Yngve skrev:

Nej det stämmer inte att h $\approx$ 20 meter, vilket vi kan inse om vi kontrollerar hur lång tid fallet då skulle ta totalt (ungefär 2 sekunder).

Du kan istället tänka så här:

Eftersom det är fritt fall, dvs konstant acceleration så gäller att stenens positition $s$ som funktion av tiden $t$ är $s(t)=s_0+v_0t+\frac{at^2}{2}$.

Om vi lägger in koordinatsystemet så att stenen börjar i origo och positiv $s$-riktning är nedåt så får vi att $s_0=0$ m, $v_0=0$ m/s. Vi räknar med $a=10$ m/s^2..

Vi får då $s(t)=\frac{10t^2}{2}=5t^2$

Om vi säger att den sista fjärdedelen av fallet påbörjas vid $t=t_1$ och avslutas vid $t=t_2$ så får vi 

$s(t_1)=5{t_1}^2$

$s(t_2)=5{t_2}^2$

Eftersom vi vet att $\frac{s(t_1)}{s(t_2)}=\frac{3}{4}$ och att $t_2-t_1=1$ så kan vi lösa ut t.ex. $t_2$ och därefter beräkna $s(t_2)$.

Visa dina försök och be om hjälp om du kör fast.

Hur kan man beräkna s(t₂)?

Shaphek skrev:

Hur kan man beräkna s(t₂)?

Du vet att $\frac{5{t_1}^2}{5{t_2}^2}=\frac{3}{4}$, dvs att ${t_1}^2=\frac{3}{4}{t_2}^2$

Du vet att $t_2-t_1=1$, dvs att $t_1=t_2-1$

Kommer du vidare då?

Så att t₂=$\frac{4}{4}$?

Är Groblix lösning rätt?

Shaphek skrev:

Så att t₂=$\frac{4}{4}$?

Nej då blir ju t₁ lika med 4/4 - 1 = 1 - 1 = 0.

Shaphek skrev:

Är Groblix lösning rätt?

Nej jag får inte rätt svar ur det lösningsförslaget.

Kanske ett enklare sätt att tänka är detta:

Rita en v/t-graf som visar hur klippbl8cket faller.

Räkna med att g är lika med 10 m/s² och att klippvlocket börjar falla från vila vid t = 0.

Då blir v/t-grafen en rät linje som utgår från origo och har lutningen 10.

Säg nu att klippblocket når marken vid tidpunkten t.

Eftersom tillryggalagd sträcka är lika med arean under v/t-grafen så vet vi att klippans höjd är lika med arean av den rätvinkliga triangel som har ena hörnet vid origo, andra hörnet vid (t, 0) och tredje hörnet vid (t, 10t).

Denna triangel har arean bas•höjd/2 dvs t•10t/2, dvs 5t² meter.

En sekund innan klippblocket slåt i marken har det gått t-1 sekunder och klippblocket har då hunnit (t-1)•10(t-1)/2 = 5(t-1)² meter.

Vi vet att detta värde ska vara lika med 3/4 av klippans höjd, vilket ger oss ekvationen 5(t-1)²/5t² = 3/4, dvs (t-1)²/t² = 3/4.

Lös nu ut t ur denna ekvation. Detta är den tid det tar för klippblocket att nå marken. 

Med hjälp av detta värde så kan du sedan enkelt beräkna klippans höjd